Для нахождения площади сечения, проходящего через вершины B, B1, D, можно использовать формулу площади треугольника, если известны длины его сторон. Сначала найдем длины сегментов BB1 и BD с помощью теоремы Пифагора:

BB1 = sqrt((AB - AB1)^2 + (AA1 - AA)^2) = sqrt((15 - 3)^2 + (21 - 15)^2) = sqrt(144) = 12,

BD = sqrt(3^2 + 8^2) = sqrt(73).

Теперь можем найти площадь сечения с помощью формулы площади треугольника по формуле Герона:

s = (AB + BB1 + BD) / 2 = (15 + 12 + sqrt(73)) / 2,

S = sqrt(s(s - AB)(s - BB1)(s - BD)).

Для нахождения диагонали правильной четырехугольной призмы можно воспользоваться теоремой косинусов. Угол между диагональю и одним из боковых ребер равен 30 градусам, из чего следует:

d^2 = 3^2 + 3^2 - 2 3 3 * cos(30) = 18,

d = sqrt(18) = 3sqrt(2).

Площадь боковой поверхности шестиугольной призмы равна сумме площадей всех боковых граней, которые являются равносторонними треугольниками с стороной AB и высотой равной AA1. Поэтому S = 6 (AB (AA1 / 2)) = 6 (2 (5 / 2)) = 30.

Для нахождения высоты прямоугольной треугольной призмы, можно воспользоваться формулой для площади поверхности:

S = 2 * Sбок + Sосн,

где Sбок = p * l, где p - периметр основания, l - боковое ребро, Sосн - площадь основания призмы. Подставляем известные значения и находим высоту.