Обозначим векторы следующим образом:
$$
\overrightarrow{AB} = \mathbf{p}, \overrightarrow{AD} = \mathbf{r}, \overrightarrow{AM} = \lambda \mathbf{p} + \mathbf{r}, \overrightarrow{MD} = \mu \mathbf{r},
$$
где $\lambda$ и $\mu$ - неизвестные коэффициенты. Тогда, так как точка $K$ лежит на отрезке $AB$ и делит его в отношении $1:1$, можно выразить вектор $\overrightarrow{AK}$ и $\overrightarrow{KB}$ следующим образом:
$$
\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2} \mathbf{p}, \overrightarrow{KB} = \frac{1}{2} \mathbf{p}.
$$
Также, так как точка $M$ лежит на отрезке $CD$ и делит его в отношении $2:5$, можно выразить вектор $\overrightarrow{CM}$ и $\overrightarrow{MD}$ следующим образом:
$$
\overrightarrow{CM} = \frac{2}{7} \mathbf{r}, \overrightarrow{MD} = \frac{5}{7} \mathbf{r}.
$$
Тогда, поскольку $\overrightarrow{KM} = \overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MD}$, получаем:
$$
\overrightarrow{KM} = \frac{1}{2} \mathbf{p} + (\lambda \mathbf{p} + \mathbf{r}) + \frac{5}{7} \mathbf{r} = \left(\lambda + \frac{1}{2}\right) \mathbf{p} + \left(1 + \frac{5}{7}\right) \mathbf{r} = \left(\lambda + \frac{1}{2}\right) \mathbf{p} + \frac{12}{7} \mathbf{r}.
$$
Таким образом, вектор $\overrightarrow{KM}$ можно выразить через векторы $\mathbf{p}$ и $\mathbf{r}$ следующим образом:
$$
\overrightarrow{KM} = \left(\lambda + \frac{1}{2}\right) \mathbf{p} + \frac{12}{7} \mathbf{r}.
$$