Краткий вывод: геометрическое место вершин — единственная точка $B(1,0)$. Пояснения и два способа получения.
1) Через дифференцирование. Условие касания в точке $B$ даёт
$$f(1)=0,f^{\prime }(1)=0.$$ Для $f(x)=a{x}^2+bx+c$ получаем систему
$$a+b+c=0,2a+b=0.$$ Отсюда $b=-2a$, $c=a$, значит
$$f(x)=a(x^2-2x+1)=a(x-1{)}^2.$$ Невырожденная парабола (при $a\ne 0$) имеет вершину в точке $(1,0)$. Требование дополнительно проходить через $A(0,0)$ даёт $f(0)=c=a=0$ — вырожденный случай $f\equiv 0$, поэтому ненулевых парабол, проходящих и через $A$, не существует.
2) Через сдвиг координат. Сместим начало в $B$: $u=x-1$, $g(u)=f(u+1)$. Условие касания в $B$ означает, что $u=0$ — кратный корень, поэтому
$$g(u)=A{u}^2,$$ вершина в новой системе в $u=0$, т.е. в исходной — в $x=1$, $y=0$.
Итого: семейство непустых парабол, касающихся оси $y=0$ в $B$, описывается $f(x)=a(x-1{)}^2$ и все их вершины совпадают с $B(1,0)$.