Решение давайте в двух случаях. Пусть даны прямые $l_1,l_2$ и положительное число $k$. Обозначим расстояния от точки $P$ до $l_1,l_2$ через $d_1,d_2$. Условие: $\frac{d_1}{d_2}=k$.
1) Пересекающиеся прямые. Пусть $O$ --- точка пересечения, координатная система с центром в $O$, пусть $l_1$ --- ось $Ox$, а $l_2$ образует с $l_1$ угол $\alpha$. Для точки в полярных координатах $(r,\theta )$ $$d_1=|r\sin \theta |,d_2=|r\sin (\theta -\alpha )|.$$ Условие даёт (знак абсолютных значений учтём через два случая)
$$|\sin \theta |=k|\sin (\theta -\alpha )|.$$ Рассмотрим знаки отдельно: либо
$$\sin \theta =k\sin (\theta -\alpha ),$$ либо
$$\sin \theta =-k\sin (\theta -\alpha ).$$ Раскрывая синусы и перенося члены, получаем для первого случая
$$\sin \theta (1-k\cos \alpha )=-k\cos \theta \sin \alpha \Rightarrow \tan \theta =-\frac{k\sin \alpha }{1-k\cos \alpha },$$ для второго случая
$$\tan \theta =\frac{k\sin \alpha }{1+k\cos \alpha }.$$ Каждая из этих формул задаёт одно значение $\theta$ по модулю $\pi$, т.е. одну прямую через $O$ (две противоположные луча). Следовательно, геометрическое место точек --- две прямые, проходящие через точку пересечения $O$. В частном случае $k=1$ обе формулы дают биссектрисы угла между $l_1$ и $l_2$ (внутреннюю и внешнюю): это классический факт о равенстве расстояний до двух прямых.
Комментарии: для общего $k$ получившиеся прямые являются изогона­лами (симметричны относительно биссектрис) и отвечают фиксированному углу $\theta$ — таким образом они связаны с понятием угловых биссектрис; если $k=1$ это именно биссектрисы. Понятие гомотетии здесь проявляется в том, что соотношение расстояний не зависит от радиуса $r$ — условие определяется только направлением $OP$, т.е. точкой центра подобия (здесь центром является $O$) и отношением масштабов вдоль разных направлений (аналогично подобию/гомотетии с поворотом).
2) Параллельные прямые. Пусть прямые параллельны и расстояние между ними $D$. Возьмём ось $Oy$ перпендикулярную прямым, пусть уравнения прямых $y=0$ ($l_1$) и $y=D$ ($l_2$). Тогда для точки с координатой $y$ $$d_1=|y|,d_2=|D-y|.$$ Решаем $|y|=k|D-y|$. При положении точки между прямыми ($0<y<D$) имеем
$$y=k(D-y)\Rightarrow y=\frac{kD}{1+k},$$ это одна прямая, параллельная данным. Для точек вне промежутка ($y>D$ или $y<0$) даёт другое решение
$$y=k(y-D)\Rightarrow y=\frac{kD}{k-1},$$ при $k\ne 1$ — вторая прямая (параллельная исходным). При $k=1$ остаётся единственная середина $y=\frac{D}{2}$. Итак, геометрическое место: две прямые, параллельные данным (вырождено в одну при $k=1$).
Связь с гомотетией: параллельный случай интерпретируется как гомотетия с центром на бесконечности (смещение вдоль нормали) — множитель гомотетии задаёт положение линий, поэтому линии-решения остаются параллельны данным. В пересекающемся случае центр гомотетии конечен (точка пересечения $O$); решение даёт прямые из лучевого пучка с центром в $O$.
Итог: для пересекающихся прямых множество точек с $d_1/d_2=k$ — две прямые через точку пересечения; для параллельных — две прямые, параллельные данным (при $k=1$ в обоих случаях вырождено в биссектрису или серединную линию).