Краткая постановка задачи
- Дано фиксированное внутреннее целевое значение (фокус) $\mathbf{p}\in {\mathbb{R}}^3$.
- Лучи от Солнца приходят как пучок направлений из набора углов высоты и (возможно) азимута: множество единичных векторов $\mathcal{S}=\{\mathbf{s}(\alpha ,\beta )\}$ (для далеких источников $\mathbf{s}$ параллельны для заданного угла).
- Требуется найти поверхность отражающего фасада $\Sigma =\{\mathbf{x}(u,v)\}$, такая что для каждого попадающего на неё луча с направлением $\mathbf{s}\in \mathcal{S}$ отражённый луч проходит через $\mathbf{p}$.
Основная математическая модель (закон отражения)
- Закон отражения для точки поверхности в $\mathbf{x}\in \Sigma$: если входящий единичный вектор равен $\mathbf{s}$ и требуемый выходящий (направленный в фокус) равен
$\mathbf{r}(\mathbf{x})=\frac{\mathbf{p}-\mathbf{x}}{\Vert \mathbf{p}-\mathbf{x}\Vert }$,
то нормаль поверхности в этой точке должна удовлетворять
$\mathbf{r}=\mathbf{s}-2(\mathbf{s}\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$.
Отсюда (вправо/влево по знаку)
$\mathbf{n}(\mathbf{x})=\pm \frac{\mathbf{s}-\mathbf{r}(\mathbf{x})}{\Vert \mathbf{s}-\mathbf{r}(\mathbf{x})\Vert }.$
Поверхность как поле нормалей — PDE для поверхности
- Если поверхность задана как график $z=h(x,y)$, её единичная нормаль равна
$\mathbf{n}=\frac{(-h_x,-h_y,1)}{\sqrt{1+|\nabla h{|}^2}}.$ Подставляя требуемую нормаль, получаем систему уравнений первого порядка для градиента $\nabla h$:
(−hx,−hy,1)1+∣∇h∣2=s−p−x∥p−x∥∥s−p−x∥p−x∥∥.\displaystyle \frac{(-h_x,-h_y,1)}{\sqrt{1+|\nabla h|^2}}=\frac{\mathbf{s}-\frac{\mathbf{p}-\mathbf{x}}{\|\mathbf{p}-\mathbf{x}\|}}{\big\|\mathbf{s}-\frac{\mathbf{p}-\mathbf{x}}{\|\mathbf{p}-\mathbf{x}\|}\big\|}.1+∣∇h∣2 (−hx ,−hy ,1) = s−∥p−x∥p−x s−∥p−x∥p−x . Это совместная система для всех $\mathbf{s}\in \mathcal{S}$ (в практике для скольких-то дискретных направлений).
Особые аналитические случаи
- Параболический рефлектор (параболоид): для параллельных входящих лучей с направлением совпадающим с осью ($\mathbf{s}=(0,0,-1)$) и фокальной точки $\mathbf{p}=(0,0,f)$ решение — параболоид
$z=\frac{1}{4f}(x^2+y^2).$ - Офф-осьные или наклонённые случаи дают сечения коник (сдвинутый параболоид, эллиптические сечения).
- Общая задача (множество направлений, заданное распределение мощности) преобразуется в задачу отображения меры (теория монге–ампѐre и оптические отражатели): требуется найти отображение входного углового распределения в пространственное распределение на фокусе; это приводит к нелинейному уравнению типа Монжа–Ампера для потенциала поверхности.
Практические методы построения формы
1. Дискретизация на плоские секции (фацетирование)
- Разбить фасад на плоские панели; для каждой панели выбрать нормаль ${\mathbf{n}}_i$ согласно среднему входному направлению и требуемому отражению в $\mathbf{p}$.
- Плюсы: простое изготовление, лёгкая монтажная логистика. Минусы: шаговые угловые ошибки, дифузное рассеяние на швах, блёклое фокусирование.
2. Параболические/конические участки
- Разделить фасад на участки, каждый из которых — аналитическая коника/параболоид, рассчитанная для узкого диапазона углов входа.
- Плюсы: лучшая оптическая точность на участке; можно использовать стандартные формы (многослойное производство). Минусы: сопряжение участков, сложность при широком диапазоне углов.
3. Поверхность вращения / офф-осьная поверхность
- Если входные направления обладают симметрией (например, диапазон высоты при фиксированном азимуте) — можно подобрать поверхность вращения или офф-осьный параболоид.
- Плюсы: простая интеграция нормалей по радиусу, аналитические формулы при симметрии. Минусы: симметрия редко полностью удовлетворяет требованиям солнечной траектории.
4. Свободноформенное проектирование (freeform) и оптимизация
- Параметризация поверхности (NURBS, полиномы, B-spline) + численный расчёт отражения методом трассировки лучей; оптимизация параметров (сходимость методом градиента или adjoint) минимизирует ошибку расстояния отражённых лучей до $\mathbf{p}$ и/или дисперсию энергий.
- Можно добавить регуляризацию на кривизну и ограничения на производственные допуски.
- Плюсы: высокая точность по всему диапазону. Минусы: численная сложность, требования к производству.
Числовая интеграция нормалей (интегрируемость)
- Набор нормалей $\mathbf{n}(\mathbf{x})$ полученный из закона отражения должен быть интегрируем: должна существовать поверхность с такими нормалями. На практике выполняют интегрирование вдоль характеристик или решают PDE минимизацией невязки между заданной и вычисленной нормалью:
min⁡h∫Ω∥(−hx,−hy,1)1+∣∇h∣2−nцел(x)∥2 dA.\displaystyle \min_{h}\int_\Omega \bigg\| \frac{(-h_x,-h_y,1)}{\sqrt{1+|\nabla h|^2}} - \mathbf{n}_{\text{цел}}(\mathbf{x})\bigg\|^2 \,dA.hmin ∫Ω 1+∣∇h∣2 (−hx ,−hy ,1) −nцел (x) 2dA.
Физические и конструктивные ограничения
- Ограничение углов: Солнце имеет конечный угловой диаметр (~$0.53^{\circ }$), значит даже идеальная поверхность даст пятно конечного размера; нужно учитывать допустимое рассеяние.
- Окклюзии и тени: часть поверхности может быть затенена при крайних углах; надо проверять видимость $\mathbf{p}$ и Солнца для каждой точки панели.
- Тепловая концентрация: отражённая энергия концентрируется в $\mathbf{p}$ — риск перегрева. Нужно задать допустимую плотность потока и теплоотвод.
- Блеск и дискомфорт окружающим: отражения не должны причинять ослепление или тепло соседним зданиям/дорогам (нормативы).
- Производство и допуски: максимальная кривизна, гладкость, точность углов (slope error), швы между панелями; материалы: зеркало на стекле, алюминиевый штамп, полированная нержавейка, тонкие покрытые панели.
- Механика и ветровая нагрузка: толщина, подкрепление, крепления; деформация панели меняет нормаль -> ухудшение фокуса.
- Монтажные допуска и выравнивание: необходимо предусмотреть регулировку ориентации панелей на месте.
- Долговечность: коррозия, загрязнения, антирефлексные/самоочищающиеся покрытия.
Процесс проектирования (практический рецепт)
1. Задать координатную систему, положение фокуса $\mathbf{p}$, набор входных направлений $\mathcal{S}$ (высота$/$азимут, временной интервал).
2. Определить допустимые панели и материалы (максимальный размер панели, кривизну).
3. Выбрать метод: фацетирование для быстрого прототипа; свободноформенное оптимальное решение для точного результата.
4. Для каждой дискретной точки/панели вычислить требуемую нормаль:
$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{s}-\frac{\mathbf{p}-\mathbf{x}}{\Vert \mathbf{p}-\mathbf{x}\Vert }}{\Vert \mathbf{s}-\frac{\mathbf{p}-\mathbf{x}}{\Vert \mathbf{p}-\mathbf{x}\Vert }\Vert }.$ 5. Интегрировать поле нормалей численно или оптимизировать параметрическую поверхность с учётом регуляризации.
6. Выполнить трассировку лучей для полного диапазона $\mathcal{S}$ и оценить фокусирующее качество (RMS-ошибка, распределение энергии, максимальная плотность).
7. Прототипирование: изготовить несколько панелей, проверить реальные slope-error, воздушное и тепловое поведение; скорректировать конструкцию и стыки.
8. Убедиться в соблюдении норм безопасности по блеску и теплу; разработать план обслуживания.
Заключение
- Задача сводится к нахождению поверхности, чьи местные нормали удовлетворяют отражательному условию для набора инцидентных направлений; при специальных симметриях есть аналитические решения (параболоиды), в общем — требуется численное интегрирование поля нормалей или оптимизация параметризованной поверхности с учётом производственных и эксплуатационных ограничений.