Коротко сформулирую с доказательствами-иллюстрациями для стороны треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$, затем укажу преимущества каждого подхода.
1) Доказательство через площади (перестановка / квадрат на стороне).
- Идея: построить квадрат со стороной $a+b$ и внутри разместить четыре равных прямоугольных треугольника (катеты $a,b$, гипотенуза $c$); внутреннее невзятое пространство — квадрат со стороной $c$.
- Вычисление площадей: площадь большого квадрата равна сумма площадей четырёх треугольников и центрального квадрата:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2.$$ Отсюда
$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\Rightarrow a^2+b^2=c^2.$$ - Иллюстрация: визуальная перестановка четырёх треугольников демонстрирует равенство площадей.
- Преимущества: очень наглядно, не требует алгебраических или тригонометрических знаний; подходит для демонстрации идеи и для начальной геометрии. Быстрое «конструкторское» доказательство.
2) Доказательство через подобие треугольников (через высоту на гипотенузу).
- Идея: опустить высоту $h$ из прямого угла на гипотенузу; она делит исходный треугольник на два треугольника, каждый подобен исходному.
- Из подобия получаем пропорции, например для катета $a$:
$$\frac{a}{c}=\frac{h}{a}\text{или}{a}^2=c\cdot x,$$ где $x$ — проекция $a$ на $c$. Аналогично для $b$: $b^2=c\cdot y$ и $x+y=c$. Сложив:
$$a^2+b^2=c(x+y)=c\cdot c=c^2.$$ - Иллюстрация: схема с высотой, обозначены подобные треугольники и соответствующие стороны.
- Преимущества: даёт структуру через отношения и подобие, естественно приводит к дополнительным фактам (формулы проекции, свойства медиан и т.д.), полезно для связи с тригонометрией и теоремой косинусов. Более формально, показывает причину соотношения через углы.
3) Векторный (алгебраический) метод / скалярное произведение.
- Идея: представить два перпендикулярных вектора $u,v$ длины $a,b$; гипотенуза — вектор $w=u+v$ длины $c$. Использовать скалярное произведение:
$$c^2=\Vert w{\Vert }^2=(u+v)\cdot (u+v)=\Vert u{\Vert }^2+2u\cdot v+\Vert v{\Vert }^2.$$ При ортогональности $u\cdot v=0$, получаем
$$c^2=a^2+b^2.$$ - Иллюстрация: параллелограмм/векторная диаграмма; вычисление нормы через скалярное произведение.
- Преимущества: коротко, алгебраически строго; легко обобщается на евклидовы пространства любой размерности и на абстрактные скалярно-проективные пространства (внутренние произведения). Удобно в аналитике, линейной алгебре и физике.
Сравнение и ограничения
- Наглядность: площадь > подобие > вектор (площадной метод наиболее визуален).
- Экономия рассуждений: векторный метод самый короткий при наличии алгебраического аппарата.
- Требования к предварительным знаниям: площадь — минимальны; подобие требует знаний о подобии и пропорциях; векторный метод требует понятия вектор/скалярное произведение.
- Обобщаемость: векторный метод и подходы через внутреннее произведение обобщаются на большие размерности; метод подобия даёт дальнейшие геометрические следствия; метод площадей чаще специфичен для плоскости и конструктивных аргументов.
Вывод: выбор метода зависит от цели — показать наглядно (площади), объяснить через угловую структуру и получить дополнительные пропорции (подобие), либо получить компактное алгебраическое и обобщаемое доказательство (вектора).