Теорема (вписанный угол). Пусть на окружности c с центром $O$ лежат точки $A,B,C$. Тогда вписанный угол $\angle ACB$ равен половине центрального угла $\angle AOB$, опирающегося на ту же дугу:
$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB.$$
Доказательство (евклидово, кратко, с учётом разной конфигурации). Проведём радиусы $OA,OB,OC$. В треугольниках $OAC$ и $OBC$ имеем $OA=OC$ и $OB=OC$, поэтому
$$\angle OAC=\angle OCA=:\alpha ,\angle OBA=\angle ABO=:\beta .$$ Тогда вписанный угол равен
$$\angle ACB=\alpha +\beta .$$ В треугольнике $AOC$ сумма углов даёт $\angle AOC=180^{\circ }-2\alpha$, в треугольнике $BOC$ аналогично $\angle BOC=180^{\circ }-2\beta$. Центральный угол, соответствующий дуге $AB$, можно представить как сумма этих двух углов (или как дополнительный угол в зависимости от того, какая дуга — меньшая или большая); для подходящего выбора измерения получаем
$$\angle AOB=\angle AOC+\angle COB=(180^{\circ }-2\alpha )+(180^{\circ }-2\beta )=360^{\circ }-2(\alpha +\beta ).$$ Если взять за центральный соответствующий малый угол (то есть не рефлексный), то получаем
$$\angle AOB=2(\alpha +\beta )=2\angle ACB,$$ откуда и следует $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$. (В других метрически возможных расположениях точек одна и та же алгебра ведёт к той же формуле при корректном выборе малого/большого центрального угла.)
Обобщения на сфере и в гиперболической плоскости.
1) Общая инвариантность. На поверхностях постоянной кривизны (сфера, гиперболическая плоскость) все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (или хорду), равны между собой. Это следует из изометрии: можно повернуть фигуру вокруг оси, симметрично отображающей хорду, и перевести одну точку окружности в другую, сохраняя углы.
2) Соотношение с центральным углом меняется и зависит от радиуса окружности и кривизны пространства. В частности, для круга радиуса $r$ (геодезического радиуса на поверхности постоянной кривизны) и длины дуги (или центрального угла) $c$ соответствующая формула через угол $\gamma =\angle ACB$ имеет вид, выводимый из сферической/гиперболической теорем косинусов (в треугольнике с вершиной в центре круга):
- Сферическая геометрия (радиус сферы взят за единицу углового масштаба): для геодезического радиуса $r$ и дуги $c$ $$\cos c={\cos }^{2}r+{\sin }^{2}r\cos (2\gamma ),$$ откуда
$$\cos (2\gamma )=\frac{\cos c-{\cos }^{2}r}{{\sin }^{2}r}.$$
- Гиперболическая геометрия (аналогично, через гиперболические функции):
$$\cosh c={\cosh }^{2}r-{\sinh }^{2}r\cos (2\gamma ),$$ откуда
$$\cos (2\gamma )=\frac{{\cosh }^{2}r-\cosh c}{{\sinh }^{2}r}.$$
Из этих формул видно: только в пределе малой окружности ( $r\to 0$, «плоская» локальная аппроксимация) получаем пределово $2\gamma \approx c$, то есть привычное евклидово соотношение $\gamma =c/2$. Для конечного $r$ общее множитель «$1/2$» заменяется функцией от $r$ и $c$ — поэтому в сферической и гиперболической геометрии простая формула «вписанный = половина центрального» в общем виде не сохраняется.
Краткое резюме:
- В евклидовой плоскости: точная формула $\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB$.
- На сфере и в гиперболической плоскости: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, но связь с центральным углом выражается через сферическую/гиперболическую тригонометрию (приведённые формулы); при малых радиусах окружности эти формулы сходятся к евклидовой.