Постановка. Пусть фокус $F$ фиксирован, задана точка $P$. Любая директриса — это прямая, проходящая через $P$; обозначим её единичный нормальный вектор $n=(\cos \theta ,\sin \theta )$ (параметр $\theta$ — угол поворота директрисы). Парабола задаётся условием равенства расстояний точки $X$ до фокуса и до директрисы:
$$|X-F|=\mathrm{dist}(X,\text{директр.})=|n\cdot (X-P)|.$$
Уравнение в координатах. Для простоты положим $F=(0,0)$, $P=(d,0)$ ($d=|FP|$). Тогда директриса: $\cos \theta (x-d)+\sin \theta y=0$ и уравнение параболы
$$\sqrt{x^2+y^2}=\cos \theta (x-d)+\sin \theta y,$$ или в квадрате
$$x^2+y^2=(\cos \theta (x-d)+\sin \theta y{)}^2,$$ что даёт квадратичное уравнение второй степени — параболу для каждого $\theta$.
Ось и вершина. Ось параболы — прямая, проходящая через $F$ вдоль вектора $n$ (она перпендикулярна директрисе). Пусть $H$ — проекция $F$ на директрису, тогда вершина $V$ находится посередине отрезка $FH$:
$$V=\frac{F+H}{2}.$$ Проекция $H$ вычисляется как
$$H=P+((F-P)\cdot n)n.$$
Локус вершин. Рассмотрим вектор $a=F-P$. Для всех $n$ точки $h=((F-P)\cdot n)n$ описывают окружность центра $a/2$ и радиуса $|a|/2$, поскольку
$$|h-a/2{|}^2=|a{|}^2/4.$$ Следовательно, $H=P+h$ описывает окружность с центром $(F+P)/2$ и радиус $|F-P|/2$, а вершины
$$V=\frac{F+H}{2}=\frac{F+P}{2}+\frac{h}{2}$$ описуют окружность с центром
$$C_V=\frac{3F+P}{4}$$ и радиус
$$r_V=\frac{|F-P|}{4}.$$
Явный вид при $F=(0,0),P=(d,0)$. Тогда
$$V(\theta )=(\frac{d}{4}(1-\cos 2\theta ),-\frac{d}{4}\sin 2\theta ),$$ т.е. вершины обходят окружность центра $(d/4,0)$ и радиуса $d/4$.
Размер и форма параболы. Расстояние от фокуса до директрисы равно
$$D=|(F-P)\cdot n|=d|\cos \theta |$$ (в общем случае $D=|(F-P)\cdot n|$). Расстояние от фокуса до вершины (фокусное расстояние параболы) равно
$$p=\frac{D}{2}=\frac{|(F-P)\cdot n|}{2}.$$ Длина латуc-ректума равна
$$4p=2|(F-P)\cdot n|.$$ Таким образом при повороте директрисы ось поворачивается вместе с $n$, вершина перемещается по упомянутой окружности, а «ширина» параболы (параметр $p$, длина латуc-ректума) меняется от $0$ до $|F-P|/2$ (соответственно длина латуc-ректума от $0$ до $|F-P|$). Экстремумы:
- максимум $p=\frac{|F-P|}{2}$ (парабола «самая раскрытая») при $n$ коллинеарен вектору $F-P$ (директриса перпендикулярна отрезку $FP$);
- минимум $p=0$ (вершина совпадает с фокусом, вырождение) когда директриса проходит через $F$ (тогда директриса совпадает с линией $FP$).
Коротко о геометрическом смысле: при вращении директрисы вокруг $P$ оси параболы поворачиваются, вершины описывают окружность радиуса $|FP|/4$ с центром $(3F+P)/4$, а «фокусное расстояние» пропорционально проекции вектора $FP$ на нормаль директрисы.