Кратко и по существу.
1) Логическая структура — сравнение
- Евклид (классическая синтетика): исходят из конечного числа постулатов и общих начал; многое (конгруэнтность, построения, рассуждения с параллельными прямыми и подобием) делается синтетическими выкладками. Ключевая роль у пятого постулата («параллельного»): он обеспечивает свойства единственности и поведения параллелей, равенство сумм углов и т. п.
- Лобачевский (гиперболическая геометрия): сохраняет остальные аксиомы «абсолютной геометрии» (первые четыре Евклида и аксиомы конгруэнтности), но заменяет пятый постулат на отрицание его (через эквивалентную формулировку): через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную (много параллелей). Лобачевский развивает систему логически непротиворечиво, вводит аналитические средства (угол параллелизма, тригонометрия для треугольников) и показывает новые зависимости между величинами.
Замечание: независимость пятого постулата от остальных была формализована позднее (модели Белтрами—Клейна—Пуанкаре дают относительную непротиворечивость).
2) Геометрические утверждения, которые перестают быть теоремами (или меняют вид)
(привожу стандартные эквиваленты пятого постулата и следствия, которые в гиперболической геометрии ложны либо приобретают иной вид)
- Сумма углов треугольника.
Евклид: сумма = $\pi$ (две прямые угла).
Гиперболика: сумма \< $\pi$; дефект $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )>0$.
- Наличие прямоугольников.
Евклид: существуют прямоугольники (четырёхугольник с одним прямым углом).
Гиперболика: прямоугольники не существуют (наличие одного прямого угла в параллелограмме ведёт к противоречию с суммой углов).
- Подобие vs конгруэнтность.
Евклид: AAA даёт подобие; существует множество подобных, но не конгруэнтных треугольников.
Гиперболика: равенство соответствующих углов определяет треугольник однозначно до изометрии — поэтому нет ненулевого масштаба: любые подобные треугольники конгруэнтны.
- Уникальность параллели (Формулировка Плейфера).
Евклид: через точку проходит ровно одна прямая, параллельная данной.
Гиперболика: через точку проходит бесконечно много непересекающихся прямых.
- Некоторые свойства параллельных и пересекающих прямых (транзитивность, одновременность наклонов и т.п.) меняются; многие теоремы Евклида, которые опирались на пятую, перестают быть верными без коррекции.
- Пифагорово отношение в форме $c^2=a^2+b^2$.
Евклид: в прямоугольном треугольнике.
Гиперболика: классическое квадратное соотношение не выполняется; вместо него гиперболическая формула (для масштаба кривизны $-1$): $\cosh c=\cosh a\cosh b$ при прямом угле напротив стороны $c$.
3) Как это отражается на методах доказательства
- Синтетические доказательства, не использующие пятый постулат («абсолютная геометрия»), остаются корректными в обеих теориях. Поэтому при переносе доказательной техники нужно контролировать, используется ли в доказательстве эквивалент пятого постулата.
- В гиперболической геометрии появляются новые аналитические приёмы: система координат (модели Клейна/Пуанкаре), введение функции угла параллелизма $\Pi (p)$, гиперболическая тригонометрия с формулами типа
$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos \gamma$,
и формула площади треугольника через угловой дефект:
при радиусе кривизны $R$: $\text{Area}=R^2(\pi -(\alpha +\beta +\gamma ))$.
- Многие классические евклидовы доказательства, опирающиеся на подобие и масштабирование, теряют силу: в гиперболике нельзя «масштабировать» фигуры как евклидову симметрию. Доказывать нужно через сравнительную тригонометрию, анализ функций (угол параллелизма), или через модель (перенести задачу в диск/полуплоскость и использовать аналитические формулы).
- Концептуально: вместо «линейных» соотношений появляются гиперболические функции ($\sinh ,\cosh ,\tanh$), и многие конструкции требуют учитывать кривизну — доказательства становятся либо более аналитическими, либо требуют новых чисто синтетических лемм специфичных для гиперболики.
Короткая итого-формулировка: отказ от пятого постулата меняет фундаментальные свойства параллельности и подобия; многие евклидовы теоремы (сумма углов треуг., существование прямоугольников, ненулевые подобия, классический Пифагор) перестают быть верными и заменяются гиперболическими соотношениями; методологически синтетические доказательства, не использующие пятый постулат, остаются общими, а иначе приходится переходить к гиперболической тригонометрии и аналитическим моделям.