Решение.
Подставим общую форму окружности $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ в точки $A(1,2),B(4,-1),C(-2,3)$. Получаем систему
$$\begin{array}{rl}& D+2E+F=-5,\\ & 4D-E+F=-17,\\ & -2D+3E+F=-13.\end{array}$$ Вычитая первые два уравнения и первые и третье, получаем
$$D-E=-4,-3D+E=-8,$$ откуда $D=6,E=10,F=-31$. Значит уравнение окружности
$$x^2+y^2+6x+10y-31=0,$$ или в центровой форме
$$(x+3{)}^2+(y+5{)}^2=65,$$ центр $(-3,-5)$, радиус $r=\sqrt{65}$.
Устойчивость метода при приближённых данных.
- Условие единственности и устойчивости: задача корректна только если точки не лежат на одной прямой. Чувствительность решения к шуму обратно пропорциональна площади треугольника $ABC$: при почти коллинеарности площадь мала и погрешности координат сильно усиливаются в решении (центр может уходить далеко, радиус — меняться значительно).
- Причина: при вычислении центра решается вырожденная или плохо обусловленная линейная система — матрица имеет малый детерминант, поэтому малая погрешность входных данных вызывает большую погрешность параметров.
- Рекомендации для практики:
- Центрируйте данные (вычитайте среднее) перед решением — это улучшает обусловленность.
- При шуме используйте метод наименьших квадратов (геометрическая минимизация ортогональных расстояний) с нелинейной оптимизацией (например, Levenberg–Marquardt) или стабильные алгебраические методы с нормировкой (Taubin и др.).
- Если точки почти коллинеарны, заранее проверяйте площадь треугольника и, при необходимости, выдавайте предупреждение о плохой обусловленности или применяйте регуляризацию.