Ключевая мысль. В квадрате любая боковая (смежная с заданным основанием) сторона перпендикулярна основанию, поэтому задача разрешима только если угол $\alpha$ равен $90^{\circ }$ (или эквивалентно $270^{\circ }$, то есть $\alpha \equiv 90^{\circ }(\mathrm{mod}180^{\circ })$). Если $\alpha$ не удовлетворяет этому условию, построить такой квадрат невозможно.
Построение (случай $\alpha =90^{\circ }$):
1. На прямой, содержащей отрезок $AB$, выберите сторону, на которой должен лежать боковой поворот (это соответствует одному из двух направлений угла $90^{\circ }$ — "вверх" или "вниз").
2. Через точки $A$ и $B$ постройте перпендикуляры к прямой $AB$ в выбранную сторону.
3. На перпендикуляре в точке $A$ отложите отрезок $AD$ длины $AB$ (то есть $AD=AB$); на перпендикуляре в точке $B$ отложите отрезок $BC$ той же длины ($BC=AB$). Это можно сделать циркулем: на центре $A$ радиус $AB$ и на центре $B$ радиус $AB$.
4. Соедините точки $C$ и $D$. Четверка точек $A,B,C,D$ даёт квадрат $ABCD$: $AB=BC=CD=DA$ и углы прямые.
Исследование двух положений. Два возможных положения квадрата соответствуют выбору стороны для перпендикуляров (левую или правую относительно направленного от $A$ к $B$). Эти квадраты симметричны относительно прямой $AB$; в одном квадрат лежит по одну сторону от $AB$, в другом — по противоположную. Если $\alpha$ задан как ориентированный угол (например $\alpha =-90^{\circ }$), то выбирается соответствующая сторона — и получается единственное положение, совпадающее с одним из двух симметричных вариантов.