Формулировки (обозначим плоскости ${\Pi }_1,{\Pi }_2$):
1) Через нормали: пусть ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$ — ненулевые нормали к ${\Pi }_1$ и ${\Pi }_2$. Тогда
$${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2⟺{\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2⟺{\mathbf{n}}_1=\lambda {\mathbf{n}}_2,\lambda \ne 0.$$
2) Через направляющие векторы: если ${\Pi }_1=\mathrm{span}\{{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{v}}_1\}$, ${\Pi }_2=\mathrm{span}\{{\mathbf{u}}_2,{\mathbf{v}}_2\}$ (направляющие векторы плоскостей), то положим ${\mathbf{n}}_1={\mathbf{u}}_1\times {\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{n}}_2={\mathbf{u}}_2\times {\mathbf{v}}_2$. Тогда
$${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2⟺{\mathbf{u}}_1\times {\mathbf{v}}_1\parallel {\mathbf{u}}_2\times {\mathbf{v}}_2.$$
3) Через перпендикулярности:
$${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2⟺\exists \mathbf{w}\ne 0\text{такая, что}\mathbf{w}\perp {\Pi }_1\text{и}\mathbf{w}\perp {\Pi }_2.$$
Доказательства (кратко):
A) Из нормалей в параллельность. Если ${\mathbf{n}}_1=\lambda {\mathbf{n}}_2$, то ненулевой вектор ${\mathbf{n}}_1$ перпендикулярен обоим плоскостям, следовательно обе плоскости ортогональны одной и той же прямой — значит они параллельны (либо совпадают).
B) Обратное: если ${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2$, то любая направляющая $\mathbf{v}\in {\Pi }_1$ параллельна ${\Pi }_2$, поэтому любая нормаль к ${\Pi }_2$ перпендикулярна всем вектором ${\Pi }_1$. Значит пространство всех векторов, перпендикулярных ${\Pi }_1$, совпадает с пространством векторов, перпендикулярных ${\Pi }_2$; эти пространства одномерны, значит ${\mathbf{n}}_1$ и ${\mathbf{n}}_2$ коллинеарны.
C) Через направляющие. По определению нормали плоскости через векторное произведение: ${\mathbf{n}}_i={\mathbf{u}}_i\times {\mathbf{v}}_i$. Тогда по пунктам A–B ${\Pi }_1\parallel {\Pi }_2$ тогда и только тогда, когда ${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2$, то есть когда соответствующие векторные произведения коллинеарны.
D) Перпендикулярный критерий — эквивалентен пункту 1: существование ненулевого $\mathbf{w}$ с $\mathbf{w}\perp {\Pi }_1$ и $\mathbf{w}\perp {\Pi }_2$ означает, что нормали коллинеарны ($\mathbf{w}$ — общий нормальный вектор).
Сравнение с плоским случаем (в евклидовской плоскости): для прямых $l_1,l_2$ роли «нормали плоскости» и «направляющего вектора плоскости» играют соответственно направляющий вектор и нормаль к прямой (оба одномерны). Аналогично:
$$l_1\parallel l_2⟺\text{их направляющие векторы пропорциональны}⟺\text{их нормали пропорциональны}.$$ То есть структура критерия та же: в 3D плоскость характеризуется двумерным направляющим подпространством и одномерным ортогоналом; в 2D прямая — одномерным направлением и одномерным ортогоналом. В обоих случаях параллельность эквивалентна пропорциональности соответствующих одномерных «ортогональных» векторов или пропорциональности направляющих.