Пусть дана прямая $l$ и две фиксированные точки $A$ и $B$. Рассмотрим центр $O$ произвольной окружности, которая касается $l$ и проходит через $A$ и $B$. Тогда имеют место два условия:
1) Так как окружность проходит через $A$ и $B$, то
$$OA=OB,$$ т.е. $O$ лежит на перпендикулярном биссекторе отрезка $AB$. Обозначим эту прямую через $m$.
2) Радиус окружности равен расстоянию от центра до касательной прямой $l$, следовательно радиус $R=OA$ и одновременно $R=\mathrm{dist}(O,l)$. Итого
$$\mathrm{dist}(O,l)=OA.$$ Это равенство задаёт параболу $P$ с фокусом в точке $A$ и директрисой $l$ (аналогично можно рассматривать фокус $B$).
Следовательно центр $O$ должен принадлежать одновременно $m$ и $P$:
$$O\in m\cap P.$$
Обратное также верно: любая точка $O\in m\cap P$ даёт окружность с центром $O$, радиусом $OA$, которая проходит через $A,B$ (так как $O\in m$ даёт $OA=OB$) и касается $l$ (так как $\mathrm{dist}(O,l)=OA$).
Выводы / свойство:
- Геометрическое место центров — это множество точек, равное пересечению перпендикулярного биссектора $AB$ и параболы с фокусом $A$ и директрисой $l$ (или с фокусом $B$ и той же директрисой).
- В общем случае таких пересечений не более двух, значит существует не более двух окружностей, касающихся $l$ и проходящих через $A$ и $B$. В особых случаях (касание биссектора и параболы в одной точке) — ровно одна, при отсутствии пересечения — ни одной.
(Особые конфигурации — например, совпадение точек или расположение на директрисе — рассматриваются по той же схеме и приводят к вырожденным случаям.)