Обозначим через $[UVW]$ площадь треугольника $UVW$. Пусть $X\in BC$ и требуемые равенства выполняются:
$$[PAX]=[PBX]=[PCX].$$
1) Из равенства $[PBX]=[PCX]$ следует
$$\frac{[PBX]}{[PBC]}=\frac{BX}{BC},\frac{[PCX]}{[PBC]}=\frac{XC}{BC},$$ поэтому $BX=XC$. Значит $X$ — середина отрезка $BC$. Обозначим её $M$.
2) Следовательно все три площади равны только возможно в точке $M$. Остаётся найти условие на $P$, при котором для $X=M$ выполняется третье равенство $[PAM]=[PBM]$.
Пусть $h=d(P,BC)$ — расстояние от $P$ до прямой $BC$. Тогда
$$[PBM]=[PCM]=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot h=\frac{1}{2}\cdot \frac{BC}{2}\cdot h=\frac{BC\cdot d(P,BC)}{4}.$$ А
$$[PAM]=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot d(P,AM).$$ Поэтому равенство $[PAM]=[PBM]$ эквивалентно условию
$$AM\cdot d(P,AM)=\frac{BC\cdot d(P,BC)}{2}.$$
Вывод. Геометрическое место точек $X$ на $BC$, для которых $[PAX]=[PBX]=[PCX]$, состоит либо из единственной точки — середины $M$ отрезка $BC$, либо пусто. Точка $M$ принадлежит этому множеству тогда и только тогда, когда выполняется эквивалентное условие
$$[PAM]=\frac{BC\cdot d(P,BC)}{4},$$ или, что то же самое,
$$AM\cdot d(P,AM)=\frac{BC\cdot d(P,BC)}{2}.$$
(Для частных расположений $P$ это условие можно переписать в координатах или в виде детерминанта площадей.)