Кратко: аффинное преобразование $x\mapsto Ax+b$ ($A$ — невырожденная матрица) сохраняет коллинеарность, параллельность, аффинные (барицентрические) отношения и отношение площадей; не сохраняет длины и углы в общем случае (сохраняются только при дополнительном условии $A$ — подобие).
Доказательства и пояснения (с примерами).
1) Коллинеарность и параллельность
- Любая прямая задаётся как $L=\{p+tv\mid t\in \mathbb{R}\}$. Её образ при аффинном преобразовании:
$$A(p+tv)+b=(Ap+b)+t(Av),$$ то есть снова прямая. Поэтому коллинеарность точек сохраняется.
- Если две прямые параллельны, то их направляющие векторы пропорциональны, после умножения на $A$ они остаются пропорциональными, значит параллельность сохраняется.
2) Отношения отрезков на одной прямой (аффинные отношения), середины и барицентрические комбинации
- На прямой аффинное преобразование действует как $t\mapsto st+t_0$ (линейно+сдвиг), поэтому для точек на одной прямой отношение направленных отрезков сохраняется:
если $C$ делит $AB$ в отношении $\lambda$, т.е. $C=\lambda A+(1-\lambda )B$, то
$$A(C)=\lambda A(A)+(1-\lambda )A(B),$$ то есть дробное деление отрезка сохраняется. В частности середина ($\lambda =\frac{1}{2}$) и точки деления в любых фиксированных долях сохраняются.
- Следствие: центроид треугольника (середина медиан) сохраняется, так как это афинная комбинация вершин: $G=\frac{1}{3}(A+B+C)$.
3) Площади (и их отношения)
- Площадь параллелограмма, натянутого на векторы $u,v$, равна $|\det [uv]|$. Под действием $A$ она становится $|\det [AuAv]|=|\det A|\cdot |\det [uv]|$. Значит площадь любого множества умножается на фиксированный множитель $|\det A|$. Следовательно отношения площадей любых двух фигур (в частности двух треугольников) сохраняются:
$$\frac{\mathrm{Area}(A(P))}{\mathrm{Area}(A(Q))}=\frac{|\det A|\mathrm{Area}(P)}{|\det A|\mathrm{Area}(Q)}=\frac{\mathrm{Area}(P)}{\mathrm{Area}(Q)}.$$
4) Длины и углы — в общем случае не сохраняются
- Длина вектора $v$ переходит в длину $Av$, и нет общего скаляра $s$ такой, что $\Vert Av\Vert =s\Vert v\Vert$ для всех $v$, кроме случая, когда $A$ — произведение ортогональной матрицы на скаляр. Угол между $u$ и $v$ определяется через скалярное произведение; после преобразования
$$(Au)\cdot (Av)=u^T(A^{T}A)v,$$ и это в общем случае не пропорционально $u\cdot v$. Угол сохраняется тогда и только тогда, когда $A^{T}A=\kappa I$ (т.е. $A$ — подобие).
- Следствие: равенство сторон (равнобедренность) и величины углов в общем не сохраняются.
5) Примеры, иллюстрирующие различие
- Пример 1 (не сохраняются углы и длины): возьмём аффинное растяжение по оси $x$ с матрицей $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Треугольник равносторонний с вершинами $(0,0),(1,0),(0.5,\frac{\sqrt{3}}{2})$ перейдёт в треугольник с вершинами $(0,0),(2,0),(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$. Углы и длины изменились (теперь стороны различны).
- Пример 2 (сохраняются отношения на одной прямой): на той же матрице точки $A=(0,0),B=(2,0),C=(1,0)$ — $C$ середина $AB$. Образы $A^{\prime }=(0,0),B^{\prime }=(4,0),C^{\prime }=(2,0)$ — $C^{\prime }$ остаётся серединой $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
- Пример 3 (сохраняются отношения площадей): два треугольника равной площади перейдут в два треугольника равной площади умноженной на $|\det A|$. В предыдущем примере $|\det A|=2$, значит все площади удваиваются, а отношение площадей остаётся тем же.
Короткое резюме:
- Сохраняется: коллинеарность, параллельность, барицентрические соотношения (включая середины, деление отрезков в заданном отношении), отношение площадей любых двух фигур, общая форма параллельности фигур (параллелограммы→параллелограммы).
- Не сохраняется: произвольные расстояния и углы (только в частном случае $A$ — подобие они сохраняются).