Обозначим π как плоскость $z=0$ и пусть $A=(0,0,h)$, $h>0$ (вводится прямоугольная система координат с осью $z$ перпендикулярной π). Рассмотрим круг, лежащий в плоскости $P$, проходящей через $A$, и касающийся π. Тогда точка касания $T$ лежит в π (то есть $T=(u,v,0)$), центр круга $O$ лежит в плоскости $P$ и расстояние от центра до точки касания равно радиусу $r$: $OT=r$. При касании касательная к кругу в $T$ лежит в π, поэтому вектор $OT$ перпендикулярен π, т.е. направлен по оси $z$. Следовательно $O=(u,v,r)$ и $T$ — его ортогональная проекция на π.
Теперь наблюдение: для любых $u,v\in \mathbb{R}$ и любого $r>0$ тройка точек $A$, $O=(u,v,r)$ и $T=(u,v,0)$ определяет плоскость $P$. В пересечении сферы с центром $O$ и радиусом $r$ с этой плоскостью получается круг радиуса $r$, лежащий в $P$ и касающийся π в $T$. И обратно: для любого искомого круга его центр $O$ лежит на расстоянии $r$ от π (точка касания — ортогональная проекция $O$ на π).
Итог (кратко и формально):
- Множество центров всех таких кругов — вся открытая полупространство по ту же сторону от π, что и $A$. В координатах: все точки $O=(u,v,r)$ с $r>0$.
- Радиус соответствующего круга равен расстоянию центра до π: $r=d(O,\pi )$.
- Для данного центра $O=(u,v,r)$ точка касания $T$ равна ортогональной проекции $O$ на π, $T=(u,v,0)$, а сам круг — пересечение плоскости $\mathrm{span}\{A,O,T\}$ с шаром $S(O,r)$.