Кратко, с доказательством и конструкциями.
1) Необходимое условие существования.
Пусть у треугольника $ABC$ медианы имеют длины $m_a,m_b,m_c$ (медиана из вершины $A$ длины $m_a$ и т.д.). Медианы как векторы от середины противоположных сторон к вершинам удовлетворяют $u+v+w=0$, поэтому их модули могут быть сторонами некоторого треугольника. Следовательно необходимые условия — треугольные неравенства
$$m_a+m_b>m_c,m_b+m_c>m_a,m_c+m_a>m_b.$$
2) Алгебраическое описание и единственность.
По формуле Аполлония для медиан:
$$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4},m_b^2=\frac{2c^2+2a^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4},$$ обозначим $X=a^2,Y=b^2,Z=c^2$ и $A=m_a^2,B=m_b^2,C=m_c^2$. Решая линейную систему, получаем явные формулы
$$a^2=\frac{-4A+8B+8C}{9},b^2=\frac{8A-4B+8C}{9},c^2=\frac{8A+8B-4C}{9}.$$ Если правые части положительны и удовлетворяют неравенствам треугольника (корни дают положительные длины и выполняется правило треугольника), то стороны $a,b,c$ определены однозначно (до взаимного расположения в плоскости). Значит треугольник, если существует, единственен с точностью до конгруэнции (и зеркально-симметричен).
3) Доказательство существования (конструкция через треугольник медиан).
Если данные $m_a,m_b,m_c$ удовлетворяют треугольным неравенствам, можно сначала построить «треугольник медиан» $M_1{M}_2{M}_3$ со сторонами $m_a,m_b,m_c$. Рассмотрим векторы вдоль его сторон, расположенные последовательно: $u,v,w$ (тогда $u+v+w=0$). Тогда для вершин исходного треугольника можно взять векторы
$$a=\frac{2}{3}u,b=\frac{2}{3}v,c=\frac{2}{3}w,$$ поскольку медиана, идущая к вершине $A$, пропорциональна $u$ по модулю и направлению (коэффициент $\frac{3}{2}$ даёт совпадение длины медианы). Это даёт геометрическую реализацию исходного треугольника: вершины находятся в концах векторов $\frac{2}{3}u,\frac{2}{3}v,\frac{2}{3}w$ при правильном сдвиге. Следовательно треугольник существует.
(Аналитически: поместив центр тяжести исходного треугольника в начало координат, вершины $a,b,c$ связаны с медианами формулой $\text{медиана к}A=\frac{3}{2}a$. Отсюда предыдущие рассуждения.)
4) Практические методы построения
a) Классический циркуль и линейка (прямой геометрический способ).
- Построить треугольник $M_1{M}_2{M}_3$ со сторонами $m_a,m_b,m_c$.
- Последовательно положив на плоскости векторы $u=M_1{M}_2,v=M_2{M}_3,w=M_3{M}_1$ (они замкнуты: $u+v+w=0$), получить точки, соответствующие концам этих векторов при общем начале (перенос векторов параллельным переносом).
- Умножение вектора на $\frac{2}{3}$ на плоскости выполняется стандартно: разделить отрезок, соответствующий вектору, на три равные части (построение деления отрезка на n частей делением через вспомогательную параллельную через равномерные деления) и взять два третьих. Это даёт векторы $\frac{2}{3}u,\frac{2}{3}v,\frac{2}{3}w$. Соединив концы этих векторов, получаем искомый треугольник $ABC$. (Все действия выполнимы циркулем и линейкой: перенос отрезков, параллельные, деление на равные части.)
b) Альтернативный (через стороны по формулам).
- По формулам из пункта 2 вычислить $a^2,b^2,c^2$ и извлечь квадратные корни (построимо циркулем и линейкой, т.к. извлечение квадратного корня от построенной длины — стандартная конструкция).
- Построить треугольник по найденным длинам сторон. Этот способ прямолинейный и удобен, когда нужны точные численные значения.
c) Координатный (аналитический) метод.
- Положим центр тяжести $G$ в начало координат. Поместив стороны медианного треугольника как векторы $u,v,w$ так, чтобы $u+v+w=0$, задаём вершины исходного треугольника как $a=\frac{2}{3}u,b=\frac{2}{3}v,c=\frac{2}{3}w$. Координатно это даёт явные координаты вершин и позволяет проверить выполнение треугольных неравенств и получить геометрическое построение через переносы и гомотетии.
5) Замечания и вычеты.
- Условие треугольных неравенств на $m_a,m_b,m_c$ является также достаточным для существования треугольника медиан и, следовательно, исходного треугольника.
- Решение единственно с точностью до перемещений и отражения (не более двух зеркальных конфигураций).
- Все операции, использованные в конструкциях (построение треугольника по трём сторонам, деление отрезка на три и взятие двух третей, перенос отрезка, извлечение квадратного корня) выполняются циркулем и линейкой, значит задача конструктивно выполнима.
Короткая итоговая формула для практики:
$$a=\sqrt{\frac{-4m_a^2+8m_b^2+8m_c^2}{9}},b=\sqrt{\frac{8m_a^2-4m_b^2+8m_c^2}{9}},c=\sqrt{\frac{8m_a^2+8m_b^2-4m_c^2}{9}}.$$
Если эти корни положительны и удовлетворяют неравенству треугольника, искомый треугольник существует и единственен.