Обозначения и постановка. Пусть $A,B,C,D$ — выпуклый четырёхугольник, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Пусть $M_A,M_B,M_C,M_D$ — середины сторон $BC,CD,DA,AB$ (то есть $M_A=\frac{B+C}{2}$ и т.п.). Обозначим ориентированные (signed) площади треугольников
$$S_1=[O{M}_A{M}_B],S_2=[O{M}_B{M}_C],S_3=[O{M}_C{M}_D],S_4=[O{M}_D{M}_A],$$ и для краткости положим
$$t_1=[OAB],t_2=[OBC],t_3=[OCD],t_4=[ODA].$$
Выражения и основные тождества.
1) По билинейности определителя (поставив $O$ в начало координат, обозначим векторы через те же буквы) имеем, например
$$S_1=\frac{1}{2}\det (M_A,M_B)=\frac{1}{2}\det (\frac{B+C}{2},\frac{C+D}{2})=\frac{1}{8}(\det (B,C)+\det (B,D)+\det (C,D)).$$ Переходя к ориентированным площадям $[O,X,Y]=\frac{1}{2}\det (X,Y)$, получаем компактно
$$\boxed{S_1=\frac{1}{4}([OBC]+[OBD]+[OCD])}$$ и циклически
$$S_2=\frac{1}{4}([OCD]+[OCA]+[ODA]),S_3=\frac{1}{4}([ODA]+[ODB]+[OAB]),$$ $$S_4=\frac{1}{4}([OAB]+[OAC]+[OBC]).$$
2) Из этих формул следует простая система равенств (с арифметическими сокращениями):
$$\boxed{S_1+S_3=S_2+S_4}$$ и
$$\boxed{S_1+S_2+S_3+S_4=\frac{1}{2}(t_1+t_2+t_3+t_4)=\frac{1}{2}[ABCD]},$$ где $[ABCD]=[OAB]+[OBC]+[OCD]+[ODA]$ — (ориентированная) площадь четырёхугольника $ABCD$. В частности, для выпуклого $ABCD$ $$S_1+S_3=S_2+S_4=\frac{1}{4}[ABCD].$$
Короткое объяснение смысла: четыре треугольника $O{M}_A{M}_B,\dots$ (ориентированно) разбивают параллелограмм Вариньона $M_A{M}_B{M}_C{M}_D$; сумма их площадей равна площади этого параллелограмма, а по известному факту площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади $ABCD$. Алгебраический вывод выше даёт точные формулы и равенства.
Обобщения на невыпуклый (или самопересекающийся) случай.
- Все приведённые формулы справедливы в виде равенств для ориентированных (signed) площадей без дополнительных оговорок. Нужно только считать $[XYZ]$ как ориентированную площадь (она может быть отрицательной).
- Т.е. даже если $ABCD$ невыпуклый или самопересекающийся и/или точка $O$ лежит вне области четырёхугольника, верны формулы
$$S_i=\frac{1}{4}(\dots ),S_1+S_3=S_2+S_4,\sum _{i=1}^4{S}_i=\frac{1}{2}[ABCD],$$ при этом отдельные $S_i$ могут быть нулевыми или отрицательными в зависимости от конфигурации.
Замечания и частные случаи.
- В случае параллелограмма все $S_i$ равны (по симметрии), причём каждый равен $\frac{1}{8}[ABCD]$ (так как суммарно $\frac{1}{2}[ABCD]$ и четыре равных части).
- Формулы получены исключительно из билинейности определителя, поэтому они аффинно-инвариантны: всё справедливо при любых аффинных преобразованиях.