Ответ: множество точек $P=(x,y)$, для которых сумма расстояний до трёх данных прямых постоянна, — это кусочно‑линейный замкнутый выпуклый многоугольник (в общем случае — шестиугольник), причём число сторон зависит от взаимного расположения прямых (параллельность, пересечение в одной точке и т.д.). При малой постоянной множества может не быть, при минимальном значении это одноточечный уровень, при больших — расширяющийся многоугольник.
Обоснование и метод в координатах.
1) Пусть прямые заданы уравнениями
$$L_i:a_{i}x+b_{i}y+c_i=0,i=1,2,3,$$ и нормируем векторы нормалей: $n_i=(a_i,b_i)/\sqrt{a_i^2+b_i^2}$. Расстояние от $P$ до $L_i$:
$$d_i(P)=\frac{|a_{i}x+b_{i}y+c_i|}{\sqrt{a_i^2+b_i^2}}=|n_i\cdot r+h_i|,$$ где $r=(x,y)$, $h_i=c_i/\sqrt{a_i^2+b_i^2}$.
2) Условие суммы:
$$f(r)=\sum _{i=1}^3{d}_i(P)=k.$$ Функция $f(r)$ — сумма модулей линейных функций → выпуклая кусочно‑линейная функция. Разобьём плоскость по прямым $L_i$ на области, в каждой области знаки выражений $a_{i}x+b_{i}y+c_i$ фиксированы: пусть $s_i=\pm 1$ — знак в этой области. Тогда на данной области
$$\sum _{i=1}^3{s}_i\frac{a_{i}x+b_{i}y+c_i}{\sqrt{a_i^2+b_i^2}}=k,$$ т.е. в этой области уровень — обычная прямая (или пусто, если решение лежит вне области). Границей множества уровня получается совокупность таких отрезков прямых, которые лежат в соответствующих областях. Соединяясь, они образуют выпуклый многоугольник с не более чем $2\cdot 3=6$ сторонами (может быть меньше при вырождениях).
3) Практический алгоритм построения/нахождения в координатах:
- Нормировать коэффициенты: ввести $g_i(x,y)=\frac{a_{i}x+b_{i}y+c_i}{\sqrt{a_i^2+b_i^2}}$.
- Перебрать все комбинации знаков $(s_1,s_2,s_3)$ (всего 8). Для каждой записать линейное уравнение
$$s_1{g}_1(x,y)+s_2{g}_2(x,y)+s_3{g}_3(x,y)=k.$$ - Найти пересечения этих прямых попарно; отобрать те точки пересечения, которые действительно лежат в области с соответствующими знаками (проверить $s_i{g}_i(x,y)\ge 0$).
- Собрать полученные точки в порядке обхода — это вершины искомого многоугольника. Если не найдено ни одной точки, то множества уровня нет; если найден ровно одна — уровень выродился в точку.
4) Частные случаи:
- Если две прямые параллельны, число сторон уменьшается (может получиться полосообразное или параллелограммоподобное множество).
- Если все три прямые пересекаются в одной точке, уровень при больших $k$ — правильный (вырожденный) шестигранник, при специальном $k$ может превратиться в треугольник (грани параллельны исходным прямым).
- Минимальное возможное $k$ — минимум функции $f(r)$ (решается как выпуклая задача); если заданное $k$ меньше минимума, множество пусто; при равенстве — одно точка (точка минимума).
Краткий пример: для $L_1:x=0,L_2:y=0,L_3:x+y=1$ записать $g_i$, перебрать знаки и получить полигоны с гранями, параллельными $x=0,y=0,x+y=1$.
Это и есть общий метод: свести задачу к перебору 8 линейных уравнений (внутри соответствующих знаковых областей) и собрать получающиеся отрезки в выпуклый многоугольник (обычно шестиугольник).