Коротко и по существу.
Обозначим длины рёбер, исходящих из вершины $A$, через
$AB=u,AC=v,AD=w$,
а плоские углы при $A$ в треугольниках $ABC,ABD,ACD$ через
$\alpha =\angle BAC,\beta =\angle BAD,\gamma =\angle CAD$.
Равенство площадей этих трёх граней эквивалентно равенству (всех трёх) величин
$$\frac{1}{2}uv\sin \alpha =\frac{1}{2}uw\sin \beta =\frac{1}{2}vw\sin \gamma .$$ Отсюда получают удобные соотношения
$$v\sin \alpha =w\sin \beta ,u\sin \alpha =w\sin \gamma ,u\sin \beta =v\sin \gamma ,$$ или эквивалентно
$$\frac{\sin \alpha }{w}=\frac{\sin \beta }{v}=\frac{\sin \gamma }{u}.$$
Условия существования. Пусть общая (двукратная) площадь каждой из трёх граней равна $2S$. Тогда
$$\sin \alpha =\frac{2S}{uv},\sin \beta =\frac{2S}{uw},\sin \gamma =\frac{2S}{vw},$$ поэтому обязательно
$$0<2S\le \min (uv,uw,vw).$$ Далее знаки косинусов определяются как
$\cos \alpha =\pm \sqrt{1-(2S/(uv){)}^2}$ и т.д.; однако для того, чтобы такие три угла были геометрически реализуемы как углы между тремя векторами в ${\mathbb{R}}^3$, их косинусы должны удовлетворять неравенству, эквивалентному положительной определённости матрицы Грама:
$$\Delta :=1+2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -({\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma )\ge 0.$$ При $\Delta >0$ тетраэдр невырожденный; при $\Delta =0$ точки $A,B,C,D$ копланарны (вырождающийся случай).
Таким образом полная условие существования: найдётся $S$ с $0<2S\le \min (uv,uw,vw)$ и выбор знаков косинусов, такой что $\Delta >0$. Практически это интерпретуется так: выбрать $u,v,w$ и взять $S$ не слишком близко к границе $\min (uv,uw,vw)/2$, затем задать углы по синусам и проверить $\Delta >0$.
Частные случаи и соотношения рёбер:
- Симметрический случай: если $u=v=w$, то из равенств площадей следует $\sin \alpha =\sin \beta =\sin \gamma$, а значит при невырожденном случае $\alpha =\beta =\gamma$ и получаем регулярный (или изометричный по вершине $A$) тетраэдр.
- Если, например, $\alpha =90^{\circ }$ (то есть $AB\perp AC$), то из равенств площадей получаем
$$\sin \beta =\frac{v}{w},\sin \gamma =\frac{u}{w},$$ а условие существования упрощается к неравенству
$$\max (u,v)\le w\le \sqrt{u^2+v^2},$$ (граница сверху даёт вырождение $\Delta =0$). Это даёт простой класс конструктивных примеров (см. ниже).
Конструктивные примеры.
1) Регулярный тетраэдр: взять все рёбра равными, например все длины $1$. Тогда три грани при $A$ равны.
2) Пример с $AB\perp AC$. Возьмём
$$u=3,v=4,w=\mathrm{4.5.}$$ Тогда при $\alpha =90^{\circ }$ получается общая площадь каждой из трёх граней
$$S=\frac{1}{2}uv\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot 1=6,$$ и
$$\sin \beta =\frac{2S}{uw}=\frac{12}{13.5}=\frac{4}{4.5}\approx 0.8889,\sin \gamma =\frac{2S}{vw}=\frac{12}{18}=\frac{3}{4.5}\approx \mathrm{0.6667.}$$ Косинусы и $\Delta$ дают $\Delta >0$, значит тетраэдр невырожден. Координатная конструкция:
положим $A=(0,0,0)$, $B=(3,0,0)$, $C=(0,4,0)$. Для $D$ возьмём единичный вектор
$\hat{d}=(\cos \beta ,\cos \gamma ,z)$ с $z=\sqrt{1-{\cos }^2\beta -{\cos }^2\gamma }>0$, и положим
$$D=w\hat{d}\approx (2.0625,3.3557,2.1780).$$ Это даёт невырожденный тетраэдр с тремя равными площадями граней при $A$.
Заключение. Равенство площадей трёх граней при вершине $A$ эквивалентно соотношению
$\frac{\sin \alpha }{w}=\frac{\sin \beta }{v}=\frac{\sin \gamma }{u}$. Для заданных длин $u,v,w$ существует тетраэдр с этим свойством тогда и только тогда, когда можно выбрать $S$ в диапазоне $0<2S\le \min (uv,uw,vw)$ и знаки косинусов так, чтобы матрица Грама трёх векто­ров от $A$ была положительно определённой (условие $\Delta >0$). Важные частные классы — полностью симметричный $u=v=w$ и ситуация с прямым углом $\alpha =90^{\circ }$ (дающая простой явный неравностный интервал для $w$).