Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике с катетами длины $a,b$ и гипотенузой $c$ выполняется
$$a^2+b^2=c^2.$$
1) Геометрическое доказательство (перестановкой).
Рассмотрим квадрат со стороной $a+b$. Внутри него расположим четырьмя одинаковыми прямоугольными треугольниками (катеты $a,b$, гипотенуза $c$) так, что их гипотенузы образуют центральный маленький квадрат со стороной $c$. Площадь большого квадрата равна сумме площадей четырёх треугольников и центрального квадрата:
$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{ab}{2}+c^2=2ab+c^2.$$ Раскрывая левую часть: $a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$, отсюда $a^2+b^2=c^2$.
Сильные стороны: наглядно, не требует алгебраических конструкций, легко воспроизводимо на чертеже.
Слабые стороны: специфично для евклидовой плоскости и требует конструкции с площадями; менее формально для обобщений.
2) Алгебраическое доказательство через векторы (скалярное произведение).
Пусть векторные катеты $u,v$ ортогональны: $⟨u,v⟩=0$, $\Vert u\Vert =a,\Vert v\Vert =b$. Гипотенузный вектор $w=u+v$ имеет норму $c$. Тогда
$$c^2=\Vert w{\Vert }^2=⟨u+v,u+v⟩=\Vert u{\Vert }^2+2⟨u,v⟩+\Vert v{\Vert }^2=a^2+0+b^2.$$ Итак $c^2=a^2+b^2$.
Сильные стороны: координатно-независимый, чисто алгебраический, легко обобщается на любую евклидову (или скалярно-внутреннюю) структуру.
Слабые стороны: требует понятия скалярного произведения/векторов и утверждения об ортогональности.
3) Аналитическое доказательство в системе координат.
Поместим прямой угол в начало координат, положив вершины треугольника в $(0,0)$, $(a,0)$, $(0,b)$. Длина гипотенузы — расстояние между $(a,0)$ и $(0,b)$:
$$c=\sqrt{(a-0{)}^2+(0-b{)}^2}=\sqrt{a^2+b^2},$$ откуда $c^2=a^2+b^2$.
Сильные стороны: простое вычисление на основе формулы расстояния, удобно для численных и координатных задач, легко обобщается в аналитической геометрии.
Слабые стороны: зависит от выбранной системы координат и формулы расстояния (то есть от евклидовой метрики); менее «чистое» геометрическое впечатление.
Краткое сравнение: геометрический метод даёт наглядность и интуицию; векторный — абстрактную и обобщаемую формулировку; аналитический — прямую вычислительную проверку в координатах. Все три эквивалентны в евклидовой плоскости, выбор зависит от целей и контекста.