Коротко: центр инциркуля (окружности радиуса $r$, касающейся обеих сторон угла) лежит на биссектрисе угла; расстояние от вершины до центра на внутренней биссектрисе равно $x=\frac{r}{\sin \alpha }$, где полуградус угла равен $\alpha$. Аналогично на внешней биссектрисе центр возможен на расстоянии $x^{\prime }=\frac{r}{\cos \alpha }$. Требование касания данной прямой $l$ даёт уравнение $\mathrm{dist}(C,l)=r$. Поэтому решений не более двух (внутренний и/или внешний центры); может быть 0, 1 или 2 решений.
Пояснение и пошаговая конструкция (все построения циркулем и линейкой):
1. Обозначения. Пусть вершина угла — $O$, стороны — лучи $OA$ и $OB$, задана прямая $l$ (не проходящая через $O$), задано число (отрезок) $r$.
2. Построение биссектрисы(и):
- Постройте внутреннюю биссектрису $b$ угла $AOB$ обычным способом циркулем. По желанию постройте и внешнюю биссектрису $b^{\prime }$.
3. Построение возможных центров, эквивалентное построению точек, равноудалённых от обеих сторон на расстояние $r$:
- Постройте две прямые, параллельные $OA$ на расстоянии $r$ (по обеим сторонам от $OA$ при необходимости); аналогично две прямые, параллельные $OB$ на расстоянии $r$.
(Как строить параллельную на расстоянии $r$: выберите точку $P$ на исходной прямой, через $P$ проведите перпендикуляр, отложите на нём отрезок длины $r$ в нужную сторону, через полученную точку проведите линию, параллельную исходной.)
- Внутренний центр $C_{\text{in}}$ — это пересечение двух параллельных прямых, отложенных внутрь угла от $OA$ и $OB$. (Это эквивалентно точке на внутренней биссектрисе, удовлетворяющей $O{C}_{\text{in}}\sin \alpha =r$, т.е. $O{C}_{\text{in}}=r/\sin \alpha$.)
- Внешний центр $C_{\text{out}}$ — пересечение соответствующих параллелей, отложенных наружу (даёт точку на внешней биссектрисе, где $O{C}_{\text{out}}\cos \alpha =r$, т.е. $O{C}_{\text{out}}=r/\cos \alpha$.)
4. Условие касания данной прямой $l$:
- Постройте две прямые, параллельные $l$, на расстоянии $r$ от неё (по обе стороны).
- Точка центра $C$ должна лежать на одной из этих параллелей. Поэтому из кандидатов $C_{\text{in}}$ и $C_{\text{out}}$ оставьте те, которые лежат на хотя бы одной из параллелей к $l$. Каждая совпадающая точка даёт решение (центр) — проводим окружность радиуса $r$ с этим центром; она будет касаться обеих сторон угла и прямой $l$.
5. Выводы о количестве решений:
- Внутренний кандидат даёт решение тогда и только тогда, когда $\mathrm{dist}(C_{\text{in}},l)=r$ (эквивалентно — когда $C_{\text{in}}$ лежит на одной из параллелей к $l$). Это либо да (один внутренний круг), либо нет.
- Аналогично для внешнего кандидата $C_{\text{out}}$.
- Следовательно, в общем случае возможно 0 (ни один кандидат не лежит на параллели к $l$), 1 (только один из $C_{\text{in}},C_{\text{out}}$ лежит на параллели) или 2 решения (оба лежат). Число решений не превышает 2.
Замечания:
- Если требуется, чтобы окружность касалась именно лучей (а не продолжений сторон), то допустимо только внутреннее решение $C_{\text{in}}$; тогда ответ — либо единственное решение (если $\mathrm{dist}(C_{\text{in}},l)=r$), либо его нет.
- Формулы для расстояний от вершины до центров: внутренний $O{C}_{\text{in}}=\frac{r}{\sin \alpha }$, внешний $O{C}_{\text{out}}=\frac{r}{\cos \alpha }$, где весь угол равен $2\alpha$.
Это полная конструкция и разбор случаев.