Определение. Инверсия в окружности с центром $O$ и радиусом $R$ переводит точку $P\ne O$ в точку $P^{\prime }$ на луче $OP$ так, что
$$OP\cdot O{P}^{\prime }=R^2.$$ В координатах (центр в начале координат) это даёт отображение
$$(x,y)\mapsto (x^{\prime },y^{\prime })=(\frac{R^{2}x}{x^2+y^2},\frac{R^{2}y}{x^2+y^2}).$$
Основные инварианты и свойства
- Инволютивность: двойная инверсия даёт исходную точку.
- Конформность: инверсия сохраняет величины углов между кривыми (модуль угла); направление ориентации меняется (инверсия ориентиро‑реверсирующая).
- Сохранение касательности: если две кривые касаются, то и их образы касаются.
- Образы «обобщённых окружностей»: инверсия переводит любую окружность или прямую в окружность либо в прямую (т.е. в «обобщённую окружность»):
- прямая, проходящая через $O$, остаётся прямой (множество точек той же прямой);
- прямая, не проходящая через $O$, преобразуется в окружность, проходящую через $O$;
- окружность, проходящая через $O$, преобразуется в прямую, не проходящую через $O$;
- окружность, не проходящая через $O$, преобразуется в окружность, не проходящую через $O$.
- Ортогональность окружностей сохраняется; в частности окружность, ортогональная окружности инверсии, инвариантна как множество.
Короткие алгебраические проверки
- Пусть прямая не через $O$ задана $ax+by+c=0$ с $c\ne 0$. Подстановка $x=\frac{R^2{x}^{\prime }}{r^{\prime 2}},y=\frac{R^2{y}^{\prime }}{r^{\prime 2}}$ (где $r^{\prime 2}=x^{\prime 2}+y^{\prime 2}$) и умножение на $r^{\prime 2}$ даёт уравнение окружности, проходящей через $O$.
- Пусть окружность задана квадратичным уравнением
$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$$ После подстановки $x=\frac{R^2{x}^{\prime }}{r^{\prime 2}},y=\frac{R^2{y}^{\prime }}{r^{\prime 2}}$ и умножения на $r^{\prime 4}$ мы получим в общем случае многочлен четвёртой степени (квартинку). Особый случай: если $F=0$ (то есть исходная кривая проходит через $O$), то степень уменьшится и образ — снова коника (квадратичное уравнение). Следствие: общая коника (в т.ч. гипербола) редко переходит в конику; обычно переходит в кривую 4-го порядка, за исключением случаев, когда коника проходит через центр инверсии (тогда образ — опять коника).
Примеры для гиперболы
- Гипербола, не проходящая через центр инверсии, в общем случае даёт образ — кривую степени 4 (квартинку).
- Гипербола, проходящая через центр инверсии, даёт образ — конику (возможны эллипс, гипербола или парабола в зависимости от параметров).
- Частные симметричные примеры: если гипербола специальной формы совпадает с образами при одних и тех же симметриях относительно центра, можно получить сохраняющуюся семейство кривых, но это частные случаи.
Практические применения — задачи, где инверсия упрощает доказательство (с краткими намёками)
1. Monge (теорема Монжа): по трём окружностям внешние и внутренние центры гомотетий лежат на одной прямой. Подбор инверсии, уменьшающей окружности до точек или линий, превращает задачу в очевидные коллинеарности.
2. Теорема о трёх касательных/точках касания: доказывать коллинеарности точек касания нескольких окружностей удобно инверсией в точке касания (окружности через эту точку переходят в прямые).
3. Симсонова прямая: инверсия в точке $P$ на описанной окружности превращает описанную окружность в прямую, и тогда семьям вписанных окружностей/треугольников соответствуют прямые — коллинеарность очевидна.
4. Задачи с общими и внешними касательными двух окружностей (напр., нахождение центров гомотетий, доказательство существования линий): инверсия упрощает геометрию касательных, превращая окружности в прямые.
5. Упрощение доказательств задач о касательных и вписанных углах (например, доказать, что угол между касательной и хордой равен противоположному вписанному углу): инверсию можно выбрать так, чтобы некоторая окружность стала прямой, и тогда утверждение сводится к менее выраженным угловым соотношениям.
Короткие советы по применению
- Инвертируйте в удобной точке: часто берут центр инверсии в критической точке (точка касания, точка пересечения окружностей, вершина угла), чтобы крутые окружности стали прямыми.
- Следите за тем, какие кривые превратятся в линии или окружности (это облегчает работу).
- Используйте сохранение касательности и углов для переноса конфигураций.
Итого: инверсия — мощный инструмент; основные инварианты — сохранение углов (по модулю), касательности и класса «обобщённых окружностей». Коники в общем переходят в кривые четвёртой степени, но если коника проходит через центр инверсии, её образ снова коника (это важно при работе с гиперболами). Примеры задач: Monge, Симсон, задачи на касательные и гомотетии — инверсия часто делает доказательство элементарным.