Ответ: пусть $S$ — площадь треугольника $ABC$, $S_p$ — площадь педальной треугольника для точки $P$, $O$ — центр описанной окружности, $R$ — её радиус, $d=OP$. Тогда выполняется классическая формула
$$S_p=\frac{|R^2-d^2|}{4R^2}S.$$ (Ориентированная версия без абсолютной величины даёт знак в зависимости от расположения точек; формулу можно доказать координатно, векторно или через степень точки относительно описанной окружности.)
Следствия и условия экстремума:
- Если $P$ лежит на описанной окружности ($d=R$), то $S_p=0$ (точки оснований перпендикуляров лежат на одной прямой — линия Симсона).
- Если $P$ внутри окружности ($d<R$), то
$$0<S_p\le \frac{1}{4}S,$$ максимум достигается при $P=O$ и равен $S/4$ (педальная треугольник тогда — медианный/серединный), минимум — равен $0$ на границе $d=R$.
- Если $P$ вне окружности ($d>R$), то $S_p=\frac{d^2-R^2}{4R^2}S$, и при $d\to \infty$ площадь растёт неограниченно; значит глобального верхнего предела площади педальной треугольника на всей плоскости нет.
- Частный случай: для $P=H$ (ортроцентр при остроугольном треугольнике) педальная треугольник — ортичный, и его площадь выражается через углы: $S_p=S\cos A\cos B\cos C$.
Итого: поведение площади определяется только расстоянием $d=OP$; внутри описанной окружности максимум $S/4$ в $O$, минимум $0$ на окружности; на всей плоскости минимум $0$, верхней границы нет.