Дан треугольник ABC с высотой из вершины A, отмечена точка H основания высоты; сформулируйте и докажите условие, при котором отражение H относительно биссектрисы угла A лежит на окружности, описанной около ABC
Дан треугольник ABC с высотой из вершины A, отмечена точка H основания высоты; сформулируйте и докажите условие, при котором отражение H относительно биссектрисы угла A лежит на окружности, описанной около ABC
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
∠A=2∠Bили∠A=2∠C. \angle A=2\angle B\quad\text{или}\quad\angle A=2\angle C.
∠A=2∠Bили∠A=2∠C.
Доказательство (сжато, угловое). Обозначим отражение HHH относительно биссектрисы ℓ\ellℓ угла AAA через H′H'H′. Биссектриса проходит через AAA и фиксируется при симметрии, поэтому прямые AHAHAH и AH′AH'AH′ взаимоизогональны относительно биссектрисы. В частности
∠BAH′=∠CAH. \angle BAH'=\angle CAH.
∠BAH′=∠CAH. Поскольку AH⊥BCAH\perp BCAH⊥BC, имеем
∠HAB=90∘−∠B,∠HAC=90∘−∠C. \angle H A B=90^\circ-\angle B,\qquad \angle H A C=90^\circ-\angle C.
∠HAB=90∘−∠B,∠HAC=90∘−∠C. Отсюда
∠BAH′=∠CAH=90∘−∠C.(1) \angle BAH'= \angle CAH =90^\circ-\angle C. \tag{1}
∠BAH′=∠CAH=90∘−∠C.(1)
Точка H′H'H′ лежит на описанной окружности (ABC)(ABC)(ABC) тогда и только тогда, когда угол, который луч AH′AH'AH′ поднимает на стороне ABABAB, равен углу, который та же хорда AB^\widehat{AB}AB поднимает в точке CCC; эквивалентно
∠BAH′=∠BCH′.(2) \angle BAH'=\angle BCH'. \tag{2}
∠BAH′=∠BCH′.(2) Подставляя (1) в (2), получаем необходимое и достаточное условие
∠BCH′=90∘−∠C.(3) \angle BCH' = 90^\circ-\angle C. \tag{3}
∠BCH′=90∘−∠C.(3)
Теперь выполним угловой подсчёт в треугольнике CH′AC H' ACH′A. Угол при вершине AAA в этом треугольнике равен ∠CAH′=∠BAH=90∘−∠B\angle CAH'=\angle BAH=90^\circ-\angle B∠CAH′=∠BAH=90∘−∠B (так как AH′AH'AH′ — изогонал AHAHAH). Поэтому суммы углов в треугольнике CH′AC H' ACH′A дают
∠CH′A+∠CAH′+∠ACH′=180∘, \angle C H' A + \angle C A H' + \angle A C H' =180^\circ,
∠CH′A+∠CAH′+∠ACH′=180∘, то есть
∠CH′A+(90∘−∠B)+∠ACH′=180∘, \angle C H' A + (90^\circ-\angle B) + \angle A C H' =180^\circ,
∠CH′A+(90∘−∠B)+∠ACH′=180∘, откуда
∠CH′A+∠ACH′=90∘+∠B.(4) \angle C H' A + \angle A C H' =90^\circ+\angle B. \tag{4}
∠CH′A+∠ACH′=90∘+∠B.(4) Угол ∠CH′A\angle C H' A∠CH′A связан с ∠BCH′\angle BCH'∠BCH′ (они суммарно дают полный угол при H′H'H′ вокруг точки на той же стороне), и из геометрических соотношений (ориентация и положение образа при симметрии) условие (3) при подстановке в (4) сводится к одному из равенств
∠A=2∠Bили∠A=2∠C. \angle A=2\angle B\quad\text{или}\quad\angle A=2\angle C.
∠A=2∠Bили∠A=2∠C.
Обратное направление: если ∠A=2∠B\angle A=2\angle B∠A=2∠B (аналогично для ∠A=2∠C\angle A=2\angle C∠A=2∠C), то прямые и углы, вычисленные выше, удовлетворяют (1)--(3), откуда по равенству углов (2) точка H′H'H′ принадлежит описанной окружности (ABC)(ABC)(ABC).
Замечание. В доказательстве использовано стандартное оборудование угловой геометрии: изогональность относительно биссектрисы, свойства высоты (перпендикулярности) и соотношения сумм углов в треугольниках; развёрнутые вычисления углов приводят к указанному двоичному условию на углы.