Рассмотрим две фиксированные точки $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$. Семейство геометрических мест задаётся условием
$$\frac{|PA|}{|PB|}=k,k\ge 0,$$ где $P(x,y)$ — переменная точка.
Вывод уравнения. Возводя в квадрат, получаем
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=k^2((x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2).$$ Переносом членов и приведением по $x,y$ при $k\ne 1$ получаем уравнение круга:
$$(1-k^2)(x^2+y^2)-2x(x_1-k^2{x}_2)-2y(y_1-k^2{y}_2)+(x_1^2+y_1^2-k^2(x_2^2+y_2^2))=0.$$ Делением на $1-k^2$ и завершением квадрата даётся центр и радиус:
$$C=(\frac{x_1-k^2{x}_2}{1-k^2},\frac{y_1-k^2{y}_2}{1-k^2}),r=\frac{k|AB|}{|1-k^2|},$$ где $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$. Центр лежит на прямой $AB$ (веса $1$ и $-k^2$ по точкам $A,B$), радиус пропорционален расстоянию $AB$.
Специальные случаи:
- $k=1$: условие $|PA|=|PB|$ задаёт перпендикулярный биссектор отрезка $AB$ (прямая).
- $k=0$: множество вырождается в точку $A$ (аналогично $k\to \infty$ даёт точку $B$).
- Для $k>0,k\ne 1$ — обычная окружность Апполония (Apollonius circle).
- Если допустить знаковое отношение (отрицательный $k$), можно получить окружности, проходящие через $A$ и $B$ (внешнее деление).
Геометрические свойства:
- Центр и все такие окружности лежат на продолжении прямой $AB$.
- Для любой окружности Апполония отношение расстояний до $A$ и $B$ на любой точке окружности равно заданному $k$ по построению.
- Расстояние от центра до $A$: $|AC|=\frac{k^2}{|1-k^2|}|AB|$, причём $|AC|=kr$. Следствие: при $k<1$ точка $A$ лежит внутри окружности, при $k>1$ — снаружи.
Применения в задачах оптимизации и конструкциях:
- Построение треугольника по базе и отношению прилежащих сторон: вершина должна лежать на соответствующей окружности Апполония — стандартная конструктивная задача.
- Задачи локализации и «фасилити-локейшн»: требование, чтобы расстояния от нового объекта до двух объектов имели заданное отношение (например, время/стоимость обслуживания пропорционально) — locus = окружность Апполония, что сводит поиск к пересечению с другими ограничениями.
- Геометрические сводки оптимизаций с весами: при решении задачи минимизации взвешенной суммы расстояний к двум пунктам (минимизация ${\lambda }_1|PA|+{\lambda }_2|PB|$ при фиксированном соотношении) градиентные/геометрические условия приводят к соотношениям расстояний, откуда вытекает использование окружностей Апполония для построения уровней или ограничения допустимых точек.
- В задачах оптики и рефракции (ассоциативно): при варьировании параметров среды соотношения путей/времён часто приводят к соотношениям расстояний (или синусов углов), что можно интерпретировать через подобные геометрические множества; метод геометрической минимизации Ферма/Снелля иногда использует аналогичные построения.
- Упрощение задач с ограничениями: если требуется найти точку, удовлетворяющую двум независимым условиям типа «отношение расстояний до пар точек равно заданному», то задача сводится к пересечению двух окружностей Апполония (алгоритмически удобно).
Короткая схема применения на практике: задано отношение $k$ — построить центр $C$ на $AB$ по формуле $C=\frac{A-k^{2}B}{1-k^2}$, построить радиус $r=\frac{k|AB|}{|1-k^2|}$; пересечение этой окружности с дополнительными ограничениями даёт оптимальное/допустимое положение точки.
Итого: семейство множеств при фиксированном положительном $k$ — окружности Апполония (при $k=1$ — прямая), с явными формулами центра и радиуса; широко используются в конструктивных задачах геометрии и прикладных задачах оптимизации/локализации с отношениями расстояний.