Кратко сравню три подхода к решению задачи Апполония (найти окружность центра $C=(x,y)$ и радиуса $r$, касающуюся трёх заданных окружностей с центрами $C_i=(x_i,y_i)$ и радиусами $r_i$, причём для каждой касательности задано внутреннее/внешнее прикосновение).
1) Синтетический (геометрический) подход
- Идея: использовать инверсию, гомотетии, радикальные оси и преобразования Мёбиуса, чтобы свести задачу к более простой (например, касание двух окружностей и линии) или построить построительно.
- Плюсы:
- Даёт явное геометрическое понимание структуры решений (8 возможных комбинаций внутренней/внешней касательности).
- Часто сводит задачу к простым конструкциям (инверсия превращает окружности в окружности/прямые).
- Лёгко анализировать вырожденные случаи и симметрии.
- Минусы:
- Конструкции могут быть громоздки и трудно формализуемы для программной реализации.
- Не всегда даёт короткую «формулу» для координат; требует ручных преобразований.
- Для численной точности нужно аккуратно выбрать центр инверсии и масштаб.
2) Алгебраический подход (через уравнения окружностей)
- Идея: записать условия касания как расстояния $\Vert C-C_i\Vert =r\pm r_i$, возвести в квадрат и вычесть пары уравнений, чтобы исключить квадратичный член $\Vert C{\Vert }^2$, получить линейную систему для $x,y$ с параметром $r$, далее подставить и получить уравнение для $r$.
- Ключевые формулы/шаги:
- Уравнения касания: $\sqrt{(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2}=r\pm r_i$. После квадрирования: $(x-x_i{)}^2+(y-y_i{)}^2=(r\pm r_i{)}^2$.
- Вычитая, получают линейные уравнения вида $2(x_i-x_j)x+2(y_i-y_j)y=(x_i^2+y_i^2-x_j^2-y_j^2)+(r\pm r_i{)}^2-(r\pm r_j{)}^2$, что даёт $x,y$ линейно через $r$.
- Подстановка приводит к квадратичному уравнению для $r$ (в общем случае даёт до двух значений на одну комбинацию знаков; с учётом всех 8 комбинаций — до 8 решений).
- Плюсы:
- Даёт явные формулы и легко программируется; вычислительная сложность постоянна (решение линейной системы и квадратного уравнения).
- Может быть реализован с контролем точности (аналитическое выражение).
- Минусы:
- При вычитании и квадрировании возникают потери точности при близких центрах/малых радиусах (численная нестабильность).
- Надо учитывать выбор знаков $\pm$ (8 наборов) и вырожденные случаи, когда матрица вырождается (коаксиальные центры → бесконечное множество или отсутствие решений).
- Для частных конфигураций (например, все три окружности касаются) проще использовать специальные теоремы (см. ниже).
- Частный полезный случай: если все три окружности попарно касаются, применять теорему Декарта для кривизны $k=1/r$:
$$k_4=k_1+k_2+k_3\pm 2\sqrt{k_1{k}_2+k_2{k}_3+k_3{k}_1}.$$ Это даёт быстрый явный результат для радиуса при взаимной касательности.
3) Численный (итеративный) подход
- Идея: решить систему невязок методом Ньютона/Левенберга–Маркуардта или минимизируя функционал суммарной ошибки касания $F(x,y,r)={\sum }_i(\Vert C-C_i\Vert -(r\pm r_i){)}^2$.
- Плюсы:
- Гибкость: легко обрабатывать нечёткие/шумные входные данные, дополнительные ограничения, весовые функции.
- Подходит для больших систем и обобщений (триатлеты, касания многим объектам).
- Можно применять устойчивые численные методы (локальная квадратичная сходимость у Ньютона при хорошем старте).
- Минусы:
- Зависимость от начального приближения; риск сходимости к неприемлемому локальному минимуму или дивергенции.
- Нет гарантий нахождения всех(до 8) решений — обычно возвращается одно решение, ближайшее к начальному приближению.
- Требуется контроль сходимости, регуляризация, масштабирование параметров; может быть медленнее, чем аналитический метод.
- Чувствителен к многозначности знаков внутренней/внешней касательности — надо задавать или инициализировать каждую комбинацию отдельно.
Рекомендации при реализации / выборе метода
- Для аналитически заданных точных данных и требований к быстрому однозначному решению — использовать алгебраический метод с явной проверкой всех 8 комбинаций и обработкой вырожденностей; применять формулу Декарта при применимоcти.
- Для геометрического понимания, построений и работы со специальными случаями лучше синтетика (инверсия сводит задачу к простым элементам).
- Для шумных данных, дополнительных ограничений или если ищут лишь одно «наилучшее» касательное решение — численные методы (с многостартовой инициализацией для поиска нескольких корней).
- Всегда учитывать численную стабильность: нормализовать координаты, использовать высокую точность при близких радиусах/центрах, проверять результаты на условие касания.
Заключение: синтетический — даёт понимание и простые редукции, алгебраический — даёт явные и быстродействующие формулы (но требует осторожности с численной стабильностью и случаями вырождения), численный — гибок и практичен для неточных/обобщённых задач, но требует контроля сходимости и не гарантирует поиск всех решений.