Кратко: идея Эйлеровой линии треугольника хорошо обобщается на тетраэдр только при дополнительных условиях (ортокентричность). Приведу определения, утверждения и короткие доказательства (в векторной форме).
1) Напоминание — треугольник.
- Вершины имеют векторные координаты $a,b,c$. Положим окружностный центр $O$ в начало координат, тогда $|a|=|b|=|c|=R$.
- Ортoцентр $H$ задаётся формулой $h=a+b+c$. Центроид $G$ равен $g=\frac{a+b+c}{3}$. Отсюда
$$g=\frac{1}{3}h,\text{то есть}O,G,H\text{коллинеарны и}OG:GH=1:2.$$ (Классическое векторное доказательство: равенство длин $|a{|}^2=|b{|}^2=|c{|}^2$ и свойство высот дают $h=a+b+c$.)
2) Тетраэдр — определения центров.
- Вершины: $A,B,C,D$ с векторами $a,b,c,d$.
- Центроид (центр масс) $G=\frac{a+b+c+d}{4}$ — всегда определяется.
- Окружностный центр (circumcenter) $O$ — центр описанной сферы (можно поставить в начало координат).
- Ортoцентр $H$ — точка пересечения высот (из вершины перпендикуляр к противоположной грани). В общем случае высоты не пересекаются, поэтому $H$ может не существовать.
- Точка Монжа $M$ (в трехмерном случае) — одна из естественных обобщённых «центральных» точек тетраэдра (например, пересечение линий, соединяющих центры окружностей противоположных граней); существует для любого тетраэдра (см. литературу).
3) Аналог Эйлеровой линии для тетраэдра — ортокентрический случай (точная обобщённая теорема).
Твердение. Если тетраэдр ортокентрический (т. е. все высоты пересекаются в одной точке $H$; эквивалентно: каждая пара противоположных рёбер взаимно перпендикулярна), то при выборе $O$ в начале координат
$$h=a+b+c+d,$$ откуда
$$g=\frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}h.$$ Следовательно $O,G,H$ коллинеарны и выполнено отношение
$$OG:GH=1:3\text{(или}g=\frac{1}{4}h\text{).}$$
Краткая схема доказательства. Поставим $O$ в начало координат, тогда $|a{|}^2=|b{|}^2=|c{|}^2=|d{|}^2=R^2$. Условия ортокентричности (высота из вершины $A$ перпендикулярна плоскости $BCD$ и т.д.) дают систему линейных скалярных уравнений, из которых следует, что скалярные произведения $h\cdot a$ равны $|a{|}^2$ и, в итоге, что $h=a+b+c+d$. Остальное — простая алгебра (см. аналогичное векторное доказательство для треугольника).
Комментарий: это естественное обобщение: для n‑симплекса в n‑мерном пространстве при ортокентричности выполняется $h=\sum _i{v}_i$ (при $O$ в начале), и тогда $g=h/(n+1)$, то есть отношение $OG:GH=1:n$. Для треугольника (n=2) получаем классическое $1:2$, для тетраэдра (n=3) — $1:3$.
4) Что происходит в общем (неортокентрическом) тетраэдре?
- Высоты обычно не пересекаются, поэтому «ортогональная» точка $H$ не существует, и прямой, содержащей одновременно $O,G,H$, в общем нет.
- Существуют другие кандидат‑точки и сферы (точка Монжа $M$, «сфера 9‑точек» и т.п.), но их взаимные расположения более сложны: разные обобщения «Эйлеровой линии» используются в литературе. Одна из устойчивых идей — рассматривать прямую $OM$ (линия между центром описанной сферы и точкой Монжа) как естественную «Эйлерову» прямую тетраэдра; в частных случаях (например, при ортокентричности) $M$ совпадает с $H$, и получаем предыдущий случай. Однако положения и деления отрезков (коэффициенты) зависят от конкретной дефиниции $M$ и не так однотипны, как в плоском случае.
5) Какие центры можно ожидать на одной прямой, а какие — нет?
- Всегда: $G$ (центроид) и $O$ (circumcenter) — точки определены, но не обязательно коллинеарны с другими «центрами».
- При ортокентричности: $O,G,H$ лежат на одной прямой с соотношением $OG:GH=1:3$. Также существует «сфера девяти точек» (аналогичная треугольной) центр которой совпадает с серединой $OH$.
- В общем тетраэдре: incenter (центр вписанной сферы), центры граней, различные центры масс и т.п. в общем не лежат на одной общей «универсальной» прямой. Точка Монжа и $O$ дают естественную прямую; включение в неё $G$ или других центров — вопрос специальных соотношений (условий симметрии, угловых соотношений между рёбрами и т. п.).
Резюме:
- Прямое и точное обобщение Эйлеровой линии (O–G–H с фиксированным отношением) существует для ортокентрических тетраэдров: $OG:GH=1:3$.
- Для произвольного тетраэдра ортoцентр может не существовать; есть другие «центроидные» и «окружностные» точки (Монж, девятиточечная сфера и т. д.), и разные авторы предлагают разные варианты «Эйлеровой линии» в 3D — в общем случае универсальной формулы нет, нужны дополнительные условия (ортокентричность или симметрии).
Если нужно, могу:
- записать полное векторное доказательство формулы $h=a+b+c+d$ в ортокентрическом случае шаг за шагом;
- дать точные определения точки Монжа и формулы для центров граней и их средних, чтобы исследовать линию $OM$.