Коротко и по шагам.
1) Запись прямых. Пусть две параллельные прямые заданы в общем виде
$${\ell }_1:ax+by+c_1=0,{\ell }_2:ax+by+c_2=0,$$ нормировка не требуется.
2) Расстояние между прямыми:
$$d=\frac{|c_2-c_1|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$
3) Условие существования окружности радиуса $r$, касающейся обеих прямых. Для центра $C=(x_0,y_0)$ требуется равенство расстояний до обеих прямых $|a{x}_0+b{y}_0+c_1|/\sqrt{a^2+b^2}=|a{x}_0+b{y}_0+c_2|/\sqrt{a^2+b^2}=r$. Это возможно лишь при
$$r=\frac{d}{2}=\frac{|c_2-c_1|}{2\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Если $r\ne d/2$, то окружностей радиуса $r$, касающихся обеих параллельных прямых, нет.
4) Координаты центров (случай $r=d/2$). Все центры лежат на средней прямой, параллельной данным:
$${\ell }_m:ax+by+\frac{c_1+c_2}{2}=0.$$ Её можно параметризовать, взяв некоторую точку $P_0$ на ${\ell }_m$ и вектор направления $v=(-b,a)$ (параллельно данным прямым):
$$C(t)=P_0+t(-b,a),t\in \mathbb{R}.$$ (Например, если $b\ne 0$, можно взять $P_0=(0,-(c_1+c_2)/(2b))$.)
5) Условие пересечения с третьей прямой. Пусть третья прямая задана
$${\ell }_3:a_{3}x+b_{3}y+c_3=0,S=\sqrt{a_3^2+b_3^2}.$$ Окружность с центром $C(t)$ радиуса $r$ пересекает ${\ell }_3$ тогда и только тогда, когда расстояние от центра до ${\ell }_3$ не превосходит $r$:
$$\frac{|a_{3}x(t)+b_{3}y(t)+c_3|}{S}\le r.$$ Поставив $f(t)=a_{3}x(t)+b_{3}y(t)+c_3=\alpha t+\beta$, где
$$\alpha =a_3(-b)+b_{3}a,\beta =a_3{x}_0+b_3{y}_0+c_3,$$ получаем линейное неравенство
$$|\alpha t+\beta |\le rS.$$ Если $\alpha \ne 0$, это даёт отрезок параметров
$$t\in \left[\frac{-\beta -rS}{\alpha },\frac{-\beta +rS}{\alpha }\right]$$ (порядок концов меняется при $\alpha <0$). Если $\alpha =0$ (т.е. ${\ell }_3$ параллельна ${\ell }_1,{\ell }_2$), то либо для всех $t$ выполняется пересечение (когда $|\beta |\le rS$), либо ни для какого $t$ (когда $|\beta |>rS$); случай $|\beta |=rS$ — касание для всех центров.
6) Итог: окружности радиуса $r$, касающиеся обеих параллельных прямых, существуют только если $r=d/2$; их центры описывает средняя прямая ${\ell }_m$. Для каждой точки $C(t)$ на этой прямой пересечение с третьей прямой эквивалентно неравенству $|\alpha t+\beta |\le rS$ с указанными $\alpha ,\beta ,S$.