Задача. Дано основание $AB$ и задана величина разности прилежащих к основанию углов $\delta =\angle A-\angle B$ (ориентированно; можно считать $\delta \ge 0$, иначе поменять местами $A$ и $B$). Требуется построить треугольник $ABC$ с основанием $AB$ и с $\angle A-\angle B=\delta$, доказать корректность и выяснить случаи существования/единственности.
1) Аналитическая формула (полезна для анализа). Пусть $A=(0,0)$, $B=(b,0)$ ($b=|AB|>0$), $C=(x,y)$, $y>0$. Тогда
$$\angle A=\arctan \frac{y}{x},\angle B=\arctan \frac{y}{b-x},$$ и из тождества для тангенса разности получаем
$$\tan \delta =\frac{\tan \angle A-\tan \angle B}{1+\tan \angle A\tan \angle B}=\frac{y\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{b-x}\right)}{1+\frac{y^2}{x(b-x)}}=\frac{y(b-2x)}{x(b-x)+y^2}.$$ Переупорядочив, получаем уравнение второго порядка для $(x,y)$:
$$-\tan \delta x^2+\tan \delta bx+\tan \delta y^2+2xy-by=0,$$ то есть геометрическое место точек $C$, удовлетворяющих условию, — некоторый несырой конический уровень (в общем случае — ветвь гиперболы, проходящая через $A$ и $B$). Отсюда сразу видно ключевые выводы ниже.
2) Построение (в терминах геометрического описания множества решений).
- Общая картина: для фиксированных $A,B,\delta$ решений (вершин $C$) бесконечно много: все вершины лежат на одном и том же алгебраическом (криволинейном) множестве степени два, задаваемом уравнением выше (обычно гипербола). Значит, треугольник по данным «основание + разность прилежащих углов» не определяется однозначно: семейство решений одномерно.
- Частный (конструктивный) способ получить хотя бы одно решение: выбрать произвольную точку $C_0$ в полуплоскости над $AB$ и вычислить значение $f(C_0)=\angle A(C_0)-\angle B(C_0)$. Функция $f$ непрерывна по перемещению точки $C$. Если $f(C_0)\ne \delta$, перемещая $C$ вдоль некоторого непрерывного пути (например, по вертикали над некоторой абсциссой) можно по непрерывности добиться уравнивания $f(C)=\delta$ (теорема о промежуточных значениях). Точка пересечения пути и искомой коники даёт требуемый $C$. На практике это реализуется численно или посредством построения коники (например, через несколько контрольных точек и методов её построения), т.е. стандартными линейкой и циркулем прямая конструкция одного явного $C$ требует построения соответствующей коники (или численного/приближённого построения точки на ней).
- Более конкретно: чтобы «построить» множество всех решений, можно построить конику, задаваемую уравнением (см. пункт 1). Теоретически коника определяется четырьмя/пятью контрольными точками; две из них — $A$ и $B$ (коника проходит через них), ещё несколько точек можно получить, подставляя удобные значения $x$ и решая квадратное уравнение по $y$ (т.е. строя точки с целыми/рациональными координатами в удобной системе) — стандартные приёмы построения коник через пять точек. После построения коники пересечение её с полуплоскостью даёт непрерывный семейство точек $C$.
3) Доказательство корректности. Оно следует из вывода в пункте 1: любая точка $C$, удовлетворяющая алгебраическому уравнению, по выводимой формуле даёт $\tan \delta$ равным требуемому выражению, значит $\angle A-\angle B=\delta$. Обратное тоже верно: любая вершина треугольника с требуемой разностью углов удовлетворяет уравнению. Следовательно коника — именно геометрическое место всех искомых вершин.
4) Случаи существования/единственности.
- Существование: в невырожденном треугольнике углы удовлетворяют $0<\angle A,\angle B<\pi$, следовательно $|\delta |<\pi$. Для любого фиксированного $\delta$ с $|\delta |<\pi$ существует непрерывное семейство (обычно бесконечное) решений $C$ в обеих полуплоскостях относительно $AB$ (по крайней мере в одной полуплоскости; точная локализация зависит от знака $\delta$). В предельных случаях $\delta \to \pm \pi$ решения становятся вырожденными (треугольник вырождаться).
- Особые случаи:
- $\delta =0$: требуется $\angle A=\angle B$ — это множество вершин $C$ — перпендикулярная биссектриса отрезка $AB$ (все равнобедренные с основанием $AB$). Следовательно бесконечно много решений (неединственность).
- $|\delta |\ge \pi$: треугольников не существует.
- В общем случае ($0<|\delta |<\pi$) решение существует и их бесконечно много; единственность не выполняется (нет единственного треугольника), разве что добавить дополнительное условие (например, высота, площадь или угол при вершине), тогда можно получить единственное решение.
Краткий итог. Геометрическое место вершин $C$, дающих заданную разность прилежащих углов при фиксированном основании $AB$, задаётся квадратичной кривой (обычно гиперболой), через точки $A$ и $B$. Для $|\delta |<\pi$ решений бесконечно много; при $\delta =0$ множество решений — перпендикулярная биссектриса; при $|\delta |\ge \pi$ решений нет. Конкретное построение одного решения сводится к построению этой коники и выбору любой её точки, отличной от $A,B$.