Дано: окружность $S(O,R)$ и две фиксированные точки $A,B$. Рассматриваем все окружности, которые проходят через $A$ и $B$ и касаются $S$. Найдём геометрическое место их центров и дадим конструктивный алгоритм.
Ключевые замечания
- Центр любой окружности, проходящей через $A$ и $B$, лежит на перпендикулярной медиане $m$ отрезка $AB$. Обозначим центр искомой окружности через $X$ и её радиус через $r$. Тогда $r=XA=XB$.
- Условие касания окружностей даётся расстоянием центров: либо внешнее касание
$$XO=r+R,$$ либо внутреннее касание. В последнем случае бывают два подслучая $r\ge R$ и $r<R$, которые дают соответственно
$$XO=r-R\text{или}XO=R-r.$$ Все эти случаи сводятся к отношениям между расстояниями $XO$ и \(XA\\) (поскольку \(r=XA\)) вида
$$XO-XA=R,XA-XO=R,XO+XA=R.$$ - Поэтому поиск центров сводится к поиску точек $X$ на прямой $m$, удовлетворяющих одним из указанных равенств. Пересечение прямой $m$ с соответствующими кривыми даёт не более двух решений; следовательно, в общем случае существует не более двух искомых окружностей.
Классификация конфигураций (число решений)
- В общем (не вырожденном) случае: 0, 1 или 2 решения.
- Точное количество определяется положением образа точки $B$ относительно образа $S$ при инверсии с центром в $A$ (см. ниже): если образ $B^{\prime }$ лежит вне образа $S^{\prime }$ — два решения; на $S^{\prime }$ — одно (кратное); внутри — нет решений.
- Вырожденные частные случаи:
- $A=B$ — другой характер задачи (много окружностей через одну точку), отдельно рассматривать.
- Если $A$ или $B$ лежит на $S$, возможны граничные/особые решения (касание в общем будет совпадать с требованием общего касательного и обычно даёт ≤1 решение).
Конструктивный алгоритм (удобный и компактный — через инверсию)
1. Выберите радиус инверсии $k$ (любой ненулевой, удобнее $k=1$). Выполните инверсию с центром $A$.
- Образ точки $P$ обозначим $P^{\prime }$, причём $AP\cdot A{P}^{\prime }=k^2$.
2. Найдите образы:
- $B\mapsto B^{\prime }$.
- Окружность $S(O,R)$ (которая не проходит через $A$) переходит в окружность $S^{\prime }(O^{\prime },R^{\prime })$; построение: возьмите две точки на $S$, инвертируйте их и проведите окружность через полученные образы.
3. Теперь задача эквивалентна: найти прямые через $B^{\prime }$, касательные к окружности $S^{\prime }$. Такие прямые — максимум две.
- Построение касательных из точки к окружности стандартно: если $B^{\prime }$ снаружи $S^{\prime }$ — провести касательные; если $B^{\prime }$ на $S^{\prime }$ — одну касательную; если внутри — касательных нет.
4. Каждая прямая $l^{\prime }$ через $B^{\prime }$, касательная к $S^{\prime }$, является образом некоторой окружности через $A$ и $B$, касающейся $S$. Превратите каждую найденную прямую $l^{\prime }$ обратно инверсией в соответствующую окружность $C$:
- Прямая $l^{\prime }$ (не проходящая через $A$) инвертируется в окружность $C$, проходящую через $A$. Для построения $C$: возьмите две точки на $l^{\prime }$, инвертируйте их в точки на $C$; через $A$ и две эти точки проведите окружность.
5. Для каждой найденной окружности $C$ найдите её центр (пересечение перпендикулярных биссектрис соответствующих хорд): это и есть искомый центр $X$.
Альтернативный (прямой) подход без инверсии
- Проведите перпендикулярную медиану $m$ от $AB$. На ней решается уравнение в расстояниях $XO-XA=R$ (внешнее касание) или $XA-XO=R$ / $XO+XA=R$ (внутренние случаи). На практике это даёт не более двух точек пересечения $m$ с соответствующими кривыми; решения строятся геометрически (по построению точек с фиксированной разностью/суммой расстояний до двух точек — стандартные построения через гиперболу/эллипс либо непосредственно численно/алгебраически).
- Но инверсия даёт более простой и надёжный конструктивный алгоритм (сведёт задачу к построению касательных из точки к окружности).
Краткая сводка
- Геометрическое место центров лежит на перпендикулярной медиане $m$ отрезка $AB$ и состоит в общем случае из не более чем двух точек.
- Число решений: 2 (обычно), 1 (касательная кратная), либо 0 (нет окружностей), определяется положением образа $B$ относительно образа $S$ после инверсии с центром $A$.
- Практическая конструкция: инвертировать относительно $A$, провести касательные из $B^{\prime }$ к $S^{\prime }$, инвертировать назад; центры получить как центры соответствующих найденных окружностей.