Кратко о главном, с формулами и объяснениями.
1) Что такое сферический треугольник.
Сферический треугольник на сфере радиуса $R$ — это фигура, ограниченная тремя дугами больших кругов; длины сторон можно измерять через центральные углы $a,b,c$ (в радианах), тогда геометрическая длина стороны равна $Ra,Rb,Rc$. Вершинные углы обозначим $\alpha ,\beta ,\gamma$ (углы между касательными к дугам).
2) Закон синусов и косинусов (сферические тригонометрические соотношения). Для сторон в виде центральных углов $a,b,c$ и противолежащих углов $\alpha ,\beta ,\gamma$ имеют место:
$$\frac{\sin a}{\sin \alpha }=\frac{\sin b}{\sin \beta }=\frac{\sin c}{\sin \gamma },$$ $$\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos \alpha .$$ (Аналогично — циклические вариации и «угловая» версия косинуса.)
3) Формула сферического избытка (теорема Жирара). Обозначим площадь сферического треугольника через $S$. Тогда
$$S=R^{2}E,E=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,$$ где $E$ — сферический избыток (в радианах). Для единичной сферы $R=1$ просто $S=\alpha +\beta +\gamma -\pi$.
Краткое доказательство (эскиз, классическое доказательство через луны):
- Луна (biangle) — участок сферы, ограниченный двумя большими кругами, пересекающимися под углом $\theta$; её площадь равна $2R^2\theta$. (Это видно, сравнив с площадью всей сферы $4\pi R^2$: при $\theta =2\pi$ луна покрывает всю сферу дважды и получаем коэффициент $2R^2$.)
- Возьмём три луны, каждая образована парами великих кругов, проходящих через вершину треугольника; их углы равны $\alpha ,\beta ,\gamma$. Сумма площадей этих трёх лун равна
$$2R^2(\alpha +\beta +\gamma ).$$ - С другой стороны, при детальном учёте перекрытий (учёте того, сколько раз каждая часть сферы вошла в суммарную картину трёх лун) получается, что суммарная площадь равна $2\pi R^2+2S$. Сравнивая эти два выражения, получаем
$$2R^2(\alpha +\beta +\gamma )=2\pi R^2+2S,$$ откуда и следует
$$S=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ).$$ (Это стандартный комбинаторный подсчёт перекрытий лун; подробные схемы можно найти в учебниках по сферической геометрии.)
4) Следствия и сравнение с планиметрией.
- Сумма углов. Из формулы выше сразу следует
$$\alpha +\beta +\gamma =\pi +\frac{S}{R^2}>\pi .$$ То есть сумма углов сферического треугольника всегда больше $\pi$. Для «маленьких» треугольников (площадь мала по сравнению с $R^2$) разность близка к нулю и мы получаем евклидов предел: $\alpha +\beta +\gamma \approx \pi$.
- Возможные значения избытка: для невырожденных треугольников $E>0$; при обычном выборе сторон $a,b,c<\pi$ выполняется $0<E<2\pi$, значит $0<S<2\pi R^2$ (площадь меньше площади полушария).
- Многие планиметрические утверждения меняются: например, в евклидовой геометрии сумма углов всегда равна $\pi$; на сфере это неверно. Теоремы, зависящие от параллельности (например, свойства параллелограмма, теорема о сумме углов многоугольника через (n−2)π и т. п.) не переносятся без поправок: в сферической геометрии нет параллельных прямых (всякая «прямая» — большой круг — пересекает любую другую).
- В пределе малого треугольника (стороны ≪ $R$) сферическая геометрия аппроксимирует евклидову: $\alpha +\beta +\gamma \to \pi$, формула площади даёт $S\approx R^2(\text{малое})$, и можно перейти к классуическим евклидовым формулам.
5) Примеры и границы.
- Правильный треугольник с $\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{2}$ (например «осевой» треугольник-октант) имеет площадь $S=R^2(\frac{3\pi }{2}-\pi )=\frac{\pi }{2}{R}^2$.
- Если все три угла стремятся к $\pi$, то $E\to 2\pi$ и площадь стремится к $2\pi R^2$ (половина поверхности сферы) — это верхняя граница для «обычных» сферических треугольников со сторонами < $\pi$.
Итого: ключевая формула — формула Жирара $S=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi )$ — связывает геометрическую (площадь) и угловую структуру сферического треугольника; из неё напрямую следует, что сумма углов больше $\pi$, а при малых размерах треугольника мы возвращаемся к евклидовой геометрии.