Утверждение. В треугольнике $ABC$ с обозначениями сторон $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ и углами $A,B,C$ выполняется тождество
$$a=b\cos C+c\cos B.$$
Доказательство (параллельная/ортогональная проекция). Опустим из вершины $A$ перпендикуляр на прямую $BC$ и обозначим точку пересечения $D$. Тогда проекции сторон на $BC$ дают длины
$$BD=c\cos B,DC=b\cos C,$$ и так как $a=BC=BD+DC$, получаем
$$a=c\cos B+b\cos C.$$ Примечание: для остроугольного треугольника $D$ лежит на отрезке $BC$; для тупого одного из слагаемых будет иметься знак «минус» при использовании направленных отрезков, и формула остаётся верной при учёте знаков.
Доказательство (тригонометрия / косинусы). Из закона косинусов для углов $B$ и $C$ $$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$ получаем
$$c\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a},b\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.$$ Сложив, имеем справа $\frac{2a^2}{2a}=a$, т.е.
$$c\cos B+b\cos C=a.$$
Сравнение подходов.
- Проекция (геометрический) даёт короткое и наглядное доказательство: целиком основано на разложении сторон по направлению $BC$, не требует алгебраических преобразований и подчёркивает геометрический смысл косинусов как проекций.
- Тригонометрия (закон косинусов) даёт алгебраическую проверку и удобна, когда известны только длины сторон или нужно выразить косинусы через стороны; она также легче переносится на вычисления и обобщения (напр., в задачах на расстояния, векторы).
Оба подхода эквивалентны по содержанию: проекционная интерпретация мотивирует формулу, тригонометрический способ даёт строгую алгебраическую проверку и удобен при вычислениях.