Теорема (о четырёх вершинах). Пусть $\gamma$ — простая (без самопересечений), гладкая замкнутая плоская кривая класса $C^2$. Тогда функция кривизны $\kappa$ по параметру по тангенсу (углу касательной) имеет как минимум четыре вершины, т.е. по крайней мере четыре точки, в которых $\kappa$ достигает локального максимума или минимума.
Краткое доказательство (строгая версия для строго выпуклой кривой; классический «Four‑Vertex Theorem» во всём общем виде имеет несколько разных доказательств — топологических, аналитических, геометрических). Для выпуклой кривой удобно работать в параметре $\theta$ — направлении касательной (угол от $0$ до $2\pi$). В этом параметре радиус кривизны $\rho (\theta )=1/\kappa (\theta )$ положителен и $2\pi$-периодичен. Координаты кривой можно записать как
$$x(\theta )=x_0+{\int }_0^{\theta }\rho (t)\cos tdt,y(\theta )=y_0+{\int }_0^{\theta }\rho (t)\sin tdt.$$ Замкнутость кривой даёт равенства
$${\int }_0^{2\pi }\rho (\theta )\cos \theta d\theta =0,{\int }_0^{2\pi }\rho (\theta )\sin \theta d\theta =0.$$ Это означает, что в разложении Фурье $\rho (\theta )$ отсутствуют члены первой гармоники (коэффициенты при $\cos \theta ,\sin \theta$ равны нулю). Следовательно, после постоянного члена ненулевой вклад даёт как минимум вторая гармоника $\cos 2\theta ,\sin 2\theta$, у которой ровно 4 экстремума за период. Из анализа ряда Фурье следует, что $\rho (\theta )$ (а значит и $\kappa (\theta )$) не может иметь меньше чем четыре строгих экстремума. Это даёт требуемое утверждение.
Замечания по доказательству: существуют и другие аргументы (через эволюту — траекторию центров кривизны — и количество cusps у неё; топологические рассуждения о показателях вращения и пр.), дающие ту же фиксацию числа вершин.
Дискретный (многоугольный) случай. Нужно ввести дискретный аналог кривизны: для простого многоугольника вершины естественно сопоставлять внутренним (или внешним) углам, или «поворотам» (углам поворота ${\alpha }_i$ между смежными сторонами). Точка считается вершинной (extremal), если её угловая величина является строгим локальным максимумом или минимумом в циклической последовательности $\{{\alpha }_i\}$.
Утверждение для выпуклого многоугольника: при «общем положении» (никакие три последовательные вершины не коллинеарны, углы не все равны) любой выпуклый $n$-угольник имеет по крайней мере четыре вершины в этом дискретном смысле. Доказательство можно получить либо аппроксимацией выпуклой кривой и переносом непрерывного результата на образцы, либо дискретной версией Фурье‑аргумента/комбинаторным аргументом.
Отличия и примеры:
- Равенство (точно 4 вершины): гладкая строго выпуклая кривая типа эллипса имеет ровно четыре вершины (две максимума и две минимума кривизны). Можно построить выпуклый многоугольник (достаточно большого числа вершин), аппроксимирующий такую кривую так, что дискретная последовательность углов даст ровно четыре строгих экстремума.
- Неравенство (меньше 4 в дискретном случае): для общего простого (особенно невыпуклого) многоугольника теорема в форме «минимум 4» не выполняется: можно получить ситуации с меньшим числом строгих локальных экстремумов (например, если все углы равны — регулярный многоугольник — то строгих экстремумов нет). Также простые невыпуклые многоугольники при специальной конструкции могут иметь меньше четырёх строгих экстремумов: интуитивная конструкция — взять почти равный выпуклый многоугольник и сделать единственную глубокую выемку (два подряд рефлексных угла), тогда остаётся небольшое число явных экстремумов (вплоть до двух в «жёсткой» дискретной интерпретации). Т.е. дискретный вариант чувствителен к выбору определения «вершина» и к общему положению вершин.
- Крайнний случай: регулярный $n$-угольник даёт все углы равны, потому строгих локальных экстремумов нет; малые симметричные возмущения приведут к появлению чётного числа экстремумов, минимально — четырёх в выпуклой настройке.
Вывод: в гладком случае (при достаточно высокой гладкости и простоте) число вершин ≥4 и это число не уменьшаемо; в дискретном (многоугольном) случае аналогичная формулировка верна для выпуклых «общих» многоугольников, но в общем (особенно невыпуклом) случае утверждение может нарушаться — возможны примеры с меньшим количеством строгих экстремумов (а для регулярных многоугольников — ноль).