Коротко и по делу.
Определения (в формуле):
- Подобие (векторно, 2D/3D): ${\mathbf{x}}^{\prime }=sR\mathbf{x}+\mathbf{t}$, где $s$ — единый масштаб, $R$ — ортогональная матрица, $\mathbf{t}$ — перенос.
- Проективное преобразование (гомография, в проективных/однородных координатах): ${\mathbf{x}}^{\prime }\sim H\mathbf{x}$ (матрица $H$ ранга ненулевого, преобразует прямые в прямые).
Какие инварианты сохраняются
- Подобия:
- Углы: сохраняются (изоморфность форм). — да.
- Отношения длин: все попарные отношения длин сохраняются в смысле масштабирования одинаково, поэтому отношение двух длин инвариантно: для любых отрезков $AB,CD$ $\frac{|A^{\prime }{B}^{\prime }|}{|C^{\prime }{D}^{\prime }|}=\frac{|AB|}{|CD|}$.
- Отношения на прямой: сохраняются (в т.ч. середины), т.к. это аффинное частное.
- Коллинеарность: сохраняется (линии переходят в линии).
- Параллельность: сохраняется.
- Ориентация: сохраняется при $s>0$, меняется при отражении.
- Круги → круги.
- Проективные преобразования:
- Коллинеарность (инцидентность точек и прямых): сохраняется.
- Конкурентность прямых (пересечение в одной точке): сохраняется.
- Кросс-отношение (cross-ratio) для четырёх коллинеарных точек: сохраняется. Формула: $(A,B;C,D)=\frac{(CA)/(CB)}{(DA)/(DB)}$ — инвариант.
- Параллельность: в общем не сохраняется (параллельные прямые могут пересекаться).
- Углы, длины, отношения длин в общем не сохраняются.
- Круги переходят в общие коники (не обязательно в круг).
Какие задачи удобнее решать и почему
- Подобия — удобно для задач, где важны углы и относительные размеры (формы), но масштаб неважен:
- распознавание и сопоставление форм (контуры, шаблоны), Procrustes-анализ, задачи соотношений углов и отношений длин;
- метрическая реконструкция до неизвестного общего масштаба (восстановление углов, пропорций);
- вычисления просты (мало параметров): в 2D число степеней свободы подобия $=4$ ($s,$ два параметра поворота/направления, перенос) — достаточно $2$ точечных соответствий (дающих $4$ уравнения).
Причина: сохраняемые инварианты (углы, относительные длины) дают сильные ограничивающие условия и малое число параметров.
- Проективные преобразования — удобны для задач перспективы и проекции: плоские гомографии, выпрямление перспективы, объединение изображений, восстановление порядка и отношений с участием точек на одной прямой:
- приведение плоскости из изображения к виду «сверху» (rectification), съемка плоских объектов при перспективе, стыковка изображений (панорамы), извлечение ванишинг-точек;
- задачи, где важны инцидентные соотношения и cross-ratio (например, восстановление делений на прямой из изображения), 3D-реконструкция до проективной неоднозначности;
- для определения гомографии требуется больше параметров: в 2D гомография имеет $8$ независимых параметров (матрица $3\times 3$ до масштаба) — нужно $4$ неоднозначных точечных соответствия.
Причина: проективная группа шире, она описывает общую перспективу, поэтому сохраняет только инцидентные свойства и кросс-отношение; это даёт мощь в задачах с перспективой, но теряется метрическая информация.
Короткое резюме
- Если нужно сохранить углы/форму/относительные длины — используйте подобия.
- Если нужно моделировать общую перспективу (гомографию плоскости, vanishing points, cross-ratio) — используйте проективные преобразования.