Определения и основная формула.
Пусть $S=[ABC]$. Обозначим малые площади
$$S_a=[PBC],S_b=[PCA],S_c=[PAB].$$ Тогда для барицентрических координат точки $P$ относительно треугольника $ABC$ принимают обычно вид $(\alpha :\beta :\gamma )$ с нормировкой $\alpha +\beta +\gamma =1$, где
$$\alpha =\frac{S_a}{S},\beta =\frac{S_b}{S},\gamma =\frac{S_c}{S}.$$ Обратно,
$$S_a=\alpha S,S_b=\beta S,S_c=\gamma S,S_a+S_b+S_c=S.$$
Краткое обоснование. Координата при вершине $A$ пропорциональна площади треугольника, противоположного $A$, т.е. $S_a$, потому что веса в барицентриках задают афинную комбинацию вершин, а площади треугольников с общей высотой пропорциональны основаниям — получается ровно указанная пропорция и нормировка через сумму площадей.
Полезные следствия и применения.
1) Восстановление координат по данным площадям. Если заданы $S_a,S_b,S_c$, то
$$(\alpha :\beta :\gamma )=\left(\frac{S_a}{S}:\frac{S_b}{S}:\frac{S_c}{S}\right)=(S_a:S_b:S_c),$$ и $S=S_a+S_b+S_c$.
Пример: пусть $S_c=[PAB]=2,S_a=[PBC]=3,S_b=[PCA]=4$. Тогда $S=9$ и
$$(\alpha ,\beta ,\gamma )=\left(\frac{3}{9},\frac{4}{9},\frac{2}{9}\right).$$
2) Деление стороны через цевиану. Если цевиана $AP$ пересекает $BC$ в точке $X$, то отношение отрезков на $BC$ выражается через малые площади:
$$\frac{BX}{XC}=\frac{\gamma }{\beta }=\frac{[PAB]}{[PCA]}.$$ Аналогично для других цевиан:
$$\frac{CY}{YA}=\frac{\alpha }{\gamma }=\frac{[PBC]}{[PAB]},\frac{AZ}{ZB}=\frac{\beta }{\alpha }=\frac{[PCA]}{[PBC]},$$ где $Y$ — пересечение $BP$ с $CA$, $Z$ — пересечение $CP$ с $AB$.
В примере выше для точки $X=AP\cap BC$ получаем $\frac{BX}{XC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, т.е. $BX:XC=1:2$.
3) Локусы по условиям на площади. Уравнения вида равенств или пропорций площадей даются простыми равенствами барицентрик:
- Условие $[PAB]=[PBC]$ эквивалентно $\gamma =\alpha$. Это определяет прямую (линия барицентрик) — в частности, прямую, проходящую через вершину $B$ и середину стороны $AC$ (медиана из $B$).
- Условие $[PAB]:[PBC]:[PCA]=r:s:t$ эквивалентно барицентрикам $(\alpha :\beta :\gamma )=(s:t:r)$ (помните соответствие $\alpha \leftrightarrow [PBC]$, $\beta \leftrightarrow [PCA]$, $\gamma \leftrightarrow [PAB]$).
4) Задачи на нахождение точки по условиям на площади. Обычно переводят условия в соотношения $\alpha :\beta :\gamma$, затем восстанавливают $P$ как пересечение соответствующих барицентрических прямых или цевиан. Например, если требуется точка $P$ такая, что $[PAB]=[PBC]$ и $[PBC]=2[PCA]$, то $\gamma =\alpha$ и $\alpha =2\beta$, отсюда $(\alpha :\beta :\gamma )=(2:1:2)$ и $P$ однозначно определяется (пересечение двух прямых).
Короткая сводка формул (для быстрой памяти):
$$S=[ABC],S_a=[PBC]=\alpha S,S_b=[PCA]=\beta S,S_c=[PAB]=\gamma S,$$ $$\alpha +\beta +\gamma =1,\frac{BX}{XC}=\frac{\gamma }{\beta },(\alpha :\beta :\gamma )=(S_a:S_b:S_c).$$
Этого достаточно, чтобы решать задачи деления площадей и задачи с условиями на площади через перевод в барицентрические координаты и использование указанных соотношений.