Коротко: выпуклый $n$-угольник называется вписанным (tangential), если существует окружность, касающаяся всех его сторон. Ниже — необходимые и достаточные критерии и способ построения.
Определения и базовый факт
- Пусть стороны по порядку имеют длины $a_1,\dots ,a_n$ и через $x_i(>0)$ обозначим длину от вершины $V_i$ до точки касания на смежной стороне (т. е. «касательные отрезки»). Тогда для любых последовательных сторон выполняется
$$a_i=x_i+x_{i+1}(i=1,\dots ,n,\text{по кругу}).$$ Наличие положительных чисел $x_i$, удовлетворяющих этой системы, эквивалентно существованию вписанной окружности.
Локальные критерии (соседние стороны)
- Для каждой вершины $V_i$ касательные отрезки к двум смежным сторонам равны: если окружность существует, то на вершине $x_i$ одинаков для обеих прилегающих сторон. Это даёт локальную уравновешенность соседних сторон через равенство сумм касательных отрезков в формуле $a_i=x_i+x_{i+1}$.
Глобальные (алгебраические) критерии
- Система $a_i=x_i+x_{i+1}$ даёт линейную систему для $x_i$. В зависимости от чётности $n$:
- Если $n$ нечётно, система имеет единственное решение, и оно выражается через чередующуюся сумму:
$$x_1=\frac{1}{2}(a_1-a_2+a_3-\cdots +a_n),$$ а остальные $x_i$ получаются циклическим сдвигом. Необходимое и достаточное условие — все полученные $x_i>0$.
- Если $n$ чётно, система разрешима тогда и только тогда, когда чередующаяся сумма равна нулю:
$$a_1-a_2+a_3-\cdots -a_n=0.$$ При этом решение существует не единственное (одна степень свободы); снова дополнительно требуется, чтобы в некотором решении все $x_i>0$.
- Для частного случая $n=4$ это даёт классический критерий: сумма противоположных сторон равна,
$$a_1+a_3=a_2+a_4.$$
Глобальные (угловые) критерии
- Внутренние биссектрисы всех углов сходятся в одной точке тогда и только тогда, когда существует вписанная окружность. Действительно, если точка $I$ лежит на биссектрисе угла в вершине $V_i$, то расстояния от $I$ до двух смежных сторон равны; если это верно для всех верш, то расстояния до всех сторон равны (равный радиус).
- Через углы и радиус: если внутр. угол в вершине $V_i$ равен ${\alpha }_i$ и радиус вписанной окружности равен $r$, то
$$x_i=r\cot \frac{{\alpha }_i}{2},a_i=r(\cot \frac{{\alpha }_i}{2}+\cot \frac{{\alpha }_{i+1}}{2}).$$ Следовательно, существование $r>0$, удовлетворяющего этим уравнениям для всех $i$, эквивалентно существованию инкруга.
Построение вписанной окружности (если критерии выполнены)
1. Проверить систему $a_i=x_i+x_{i+1}$:
- для нечётного $n$ вычислить $x_i$ по формуле чередующейся суммы и убедиться, что все $x_i>0$;
- для чётного $n$ проверить условие $a_1-a_2+\cdots -a_n=0$ и подобрать (или вычислить) решение с $x_i>0$.
2. Геометрическая конструкция (эквивалентные варианты):
- (Практически проще) Построить пересечение внутренних биссектрис двух (любой пары) вершин: если многоугольник действительно вписанный, биссектрисы совпадут в одной точке $I$ — центр инкруга. Затем опустить из $I$ перпендикуляр на любую сторону — длина перпендикуляра есть радиус $r$; окружность с центром $I$ и радиусом $r$ — искомая.
- (По касательным) по найденным $x_i$ отметить на каждой стороне точки, отстоящие от вершин на $x_i$. Эти точки будут точками касания; построить окружность, касающуюся, например, двух соседних сторон в соответствующих точках (или найти центр как пересечение перпендикуляров к двум хордам), это даст тот же инкруг.
3. Провести проверку: расстояние центра до всех сторон равно $r$.
Замечания
- Если решение системы существует и все $x_i>0$, инкруг единственный.
- Для практической проверки можно либо использовать биссектрисный критерий (построить две биссектрисы и проверить касание ко всем сторонам), либо алгебраическую проверку длины $x_i$.
Короткая тезисная сводка
- Эквивалентные критерии: (i) существуют положительные $x_i$ с $a_i=x_i+x_{i+1}$; (ii) внутренние биссектрисы сходятся в одной точке; (iii) существует $r>0$ с $a_i=r(\cot \frac{{\alpha }_i}{2}+\cot \frac{{\alpha }_{i+1}}{2})$.
- Для нечётного $n$ решение для $x_i$ единственно (формула через чередующуюся сумму); для чётного $n$ требуется дополнительная глобальная равенство чередующейся суммы, и решение имеет одну степень свободы; всегда необходимо $x_i>0$.