Коротко: форма, при которой внутренняя сила вдоль арки — чистое осевое сжатие (нет изгибающего момента), называется фундукционной (funicular) для данного распределения нагрузки. Для разных типов равномерности нагрузки фундукальная линия даёт разные кривые: при равномерной нагрузке по горизонтали — парабола, при равномерной нагрузке по длине — обратная цепная линия (инвертированная катенара). Круговая дуга не является фундукальной для этих типичных нагрузок и потому испытывает значительные изгибающие моменты.
Пояснения с формулами.
1) Нагрузки и фундукальная кривая
- Если нагрузка на арку равномерно распределена по горизонтальной проекции (интенсивность $q$ — сила на единицу горизонтали, типично для равномерно нагружённой мостовой плиты), статика кабеля/арки даёт
$$H{y}^{\prime \prime }(x)=q,$$ где $H$ — постоянная горизонтальная составляющая усилия (горизонтальная тяга). Интегрируя,
$$y(x)=\frac{q}{2H}{x}^2+C_{1}x+C_2,$$ то есть фундукальная линия — парабола. Если арка имеет именно такую форму, её центр линии действия сил совпадает с геометрической серединой, и вдоль неё действует почти только продольное сжатие (минимально или нулевое изгибающее момент).
- Если же собственный вес равномерно распределён по длине арки (линейная плотность $w$), то фундукальная форма — катенара. Для цепи под собственной массой стандартно:
$$y(x)=\frac{H}{w}\cosh \left(\frac{w}{H}x\right)+C,$$ что при инвертировании даёт арку без изгибающих моментов при однородной массе вдоль дуги.
2) Почему парабола оптимальна для «равномерного собственного веса» — важное уточнение
Термин «равномерный собственный вес» можно понимать по‑разному:
- если «равномерно по горизонтали» (напр., масса/нагрузка моста передаётся равномерно на опоры через настил) → парабола — оптимальна (фундукальная) и исключает изгибовые моменты;
- если «равномерно по длине арки» (однородный профиль, постоянная масса на единицу длины) → оптимальна катенара.
3) Круговая арка (дуга окружности)
Круг не является решением уравнений фундукальной линии ни для $q=$ const по горизонтали, ни для $w=$ const по дуге. Следствие:
- в круговой арке существенны поперечные силы и изгибающие моменты;
- изгиб повышает требования к прочности/толщине и приводит к неравномерному распределению напряжений (комбинация нормального и изгибающего напряжения вместо чистого сжатия).
4) Физический смысл и практические выводы
- Фундукальная форма минимизирует изгибающие моменты (и, следовательно, максимизирует эффективность материалов при работе на сжатие). Для данного вида распределённой нагрузки выбранная фундукальная кривая даёт чистое осевое усилие.
- Парабола предпочтительна для арок, которые несут равномерно распределённую нагрузку по пролёту (мостовые настилы и т. п.). Катенара — для арок, где важно учесть собственный вес арки как нагрузку по длине.
- Круговая дуга проще в изготовлении/кладке, но менее экономична с точки зрения внутреннего распределения усилий — требует сопротивляться изгибу.
Кратко: оптимальность формы зависит от способа распределения нагрузки. Парабола — фундукальная при равномерной нагрузке по горизонтали ($q=$ const), катенара — при равномерной нагрузке по дуге ($w=$ const); окружность не совпадает с фундукальной и вызывает изгибающие моменты.