Формулировка. Пусть задан простой (не самопересекающийся) замкнутый многоугольник с вершинами $v_1,\dots ,v_n$ в порядке обхода. Определим при вершине $v_i$ ориентированный угол поворота (внешний угол, turning angle) ${\Delta }_i$ как угол, на который поворачивает направленный отрезок $v_i{v}_{i+1}$ при переходе к направленному отрезку $v_{i+1}{v}_{i+2}$; принимаем знак положительным для левого поворота, отрицательным для правого, причем ${\Delta }_i\in (-\pi ,\pi ]$. Тогда для обхода в фиксированном направлении справедливо
$$\sum _{i=1}^n{\Delta }_i=2\pi (\text{то есть}360^{\circ }).$$
Доказательство (два пояснения).
1) Через сумму внутренних углов. Обозначим внутренний угол при $v_i$ через ${\alpha }_i$ (в радианах). Для любого вершины связаны углы ${\alpha }_i+{\Delta }_i=\pi$. Суммируя по всем вершинам получаем
$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i+\sum _{i=1}^n{\Delta }_i=n\pi .$$ Для простого $n$-угольника известна формула суммы внутренних углов ${\sum }_{i=1}^n{\alpha }_i=(n-2)\pi$. Откуда
$$(n-2)\pi +\sum _{i=1}^n{\Delta }_i=n\pi \Rightarrow \sum _{i=1}^n{\Delta }_i=2\pi .$$
2) Через суммарное вращение касательной (обобщённый геометрический аргумент). Рассмотрим ориентированный вектор направления ребра $e_i=v_i{v}_{i+1}$ и его полярный угол ${\theta }_i$. Тогда ${\Delta }_i$ есть ориентированная разность ${\theta }_{i+1}-{\theta }_i$, взятая с учётом прибавления/вычитания целых кратных $2\pi$ так, чтобы лежать в $(-\pi ,\pi ]$. Сумма всех изменений направлений равна итоговому изменению аргумента направления после обхода: $\sum {\Delta }_i={\theta }_{n+1}-{\theta }_1+2k\pi$. Так как после полного обхода направление ребра вернулось к исходному, ${\theta }_{n+1}={\theta }_1$ и остаётся целочисленный множитель $2k\pi$. Число $k$ — число оборотов направляющего вектора, оно совпадает с индексов (winding number) обхода относительно любой точки внутри многоугольника. Для простого замкнутого контура индекс равен $\pm 1$ (по теореме о Jordan-кривой внутри обходится один раз), поэтому $\sum {\Delta }_i=\pm 2\pi$; знак «+» соответствует обходу против часовой стрелки, «−» — по часовой. При принятом положительном направлении обхода получаем $2\pi$.
Как меняется формулировка для самопересекающихся многоугольников. Для самопересекающихся (непростых) многоугольников сумма ориентированных поворотов по определению остаётся кратной $2\pi$:
$$\sum _{i=1}^n{\Delta }_i=2\pi k,$$ где $k\in \mathbb{Z}$ — индекс (winding number) кривой относительно точки, взятой вне особых точек. Для разных самопересекающихся контуров $k$ может быть любым целым (пример: «звезда» даёт $|k|>1$, «восьмерка» даёт $k=0$). Поэтому нужно:
- чётко определять внешний угол как ориентированный угол поворота (signed turning angle);
- тогда общее утверждение: сумма ориентированных внешних углов равна $2\pi$ умноженному на индекс обхода.
Если же под «внешним углом» понимать неориентированную величину $\pi -{\alpha }_i$ без учёта знака, то для самопересекающегося контура суммирование таких величин даёт неоднозначный результат и неравно $2\pi$ в общем случае; для простого контура обе трактовки совпадают по сумме и дают $2\pi$.