Коротко и по делу — что остаётся верным, какие формулы меняются и что интуитивно теряется в гиперболической и сферической геометриях для медиан, биссектрис и высот.
Общие инструменты
- Тригонометрические версии теорем Ceva и Menelaus остаются основными рабочими инструментами в обеих геометриях; они выражаются через синусы (для сферической) и через гиперболические синусы/синусы (для гиперболической в зависимости от выбранной формы). Одна удобная форма (через углы при вершинах) — справедлива и в сферической, и в гиперболической геометриях:
$$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}\cdot \frac{\sin \angle CBE}{\sin \angle EBA}\cdot \frac{\sin \angle ACF}{\sin \angle FCB}=1$$ (направленные углы). Это даёт критерий сопряжённости для произвольных чеев и доказывает многие факты о пересечении специальных чеев.
Кратко о нужных классических законов (используются ниже)
- Сферическая закон синусов: $\frac{\sin a}{\sin A}=\frac{\sin b}{\sin B}=\frac{\sin c}{\sin C}.$ - Гиперболический закон синусов: $\frac{\sinh a}{\sin A}=\frac{\sinh b}{\sin B}=\frac{\sinh c}{\sin C}.$
Медианы
- Конкурентность: медианы треугольника в обеих геометриях пересекаются в одной точке (центроиде). Доказательство: применением тригонометрической Ceva к точкам-серединам (для середины длины отрезков равны, а потому в сферической форме используются равенства синусов, в гиперболической — равенства $\sinh$).
- Деление медианы: потерян универсальный коэффициент $2:1$. В евклидовой геометрии центр тяжести делит каждую медиану в отношении $AG:GM=2:1$; в сферической и гиперболической этот коэффициент зависит от размеров и форм треугольника (от длин сторон и кривизны) и нет простого универсального числа. То есть G существует, но отношение $AG/GM$ выражается через тригонометрические (или гиперболические) функции сторон и не равно постоянной.
- Разбиение площади: медиана, проведённая к дуге BC с M — серединой по дуге, делит треугольник на два треугольника с равными основаниями и общей вершиной; при симметрии это обычно даёт равные площади, поэтому свойство «медиана делит площадь пополам» сохраняется (при корректном определении середины по дуге/геодезической).
Биссектрисы
- Конкурентность: внутренние биссектрисы пересекаются в инцентре в обеих геометриях; внешние биссектрисы дают эксцентры. Это остаётся справедливым, поскольку тригонометрическая Ceva срабатывает для точек, получаемых биссектрисами.
- Теорема биссектрисы: формулировка в модифицированном виде — через синусы (сфера) или гиперболические синусы/закон синусов (гиперболический):
- Сферическая: если биссектриса при вершине $A$ пересекает $BC$ в $D$, то
$$\frac{\sin BD}{\sin DC}=\frac{\sin AB}{\sin AC}.$$ - Гиперболическая (в форме с длинами дуг):
$$\frac{\sinh BD}{\sinh DC}=\frac{\sinh AB}{\sinh AC}.$$ Эти соотношения получаются из соответствующих законов синусов.
- Интутитивные свойства: деление стороны в пропорции к смежным сторонам сохраняется, но сами численные отношения зависят через sin/sinh от длин, поэтому привычные линейные интуиции меняются.
Высоты (ортогонали)
- Конкурентность: в обеих геометриях три высоты (геодезические, проведённые из вершин и перпендикулярные противоположной стороне) пересекаются в одной точке — ортогентре. Это следует из тригонометрической Ceva, применённой к соотношениям углов при перпендикулярах.
- Особенности:
- Сферическая: из-за антиподальности на сфере часто возникают парные решения (антиподальная точка также связана); при «очень большой» треугольной величине расположение ортогона может быть на антиподальной полусфере относительно треугольника.
- Гиперболическая: ортогентр существует для всех невырожденных (совершенных) треугольников, но его положение и взаимосвязи с другими центрами отличаются.
- Связи с полярной тригонометрией: в сферической геометрии ортоцентр связан с полярным треугольником и полюсами сторон; аналогично для гиперболической теории через двойственность, поэтому многие симметрические свойств ортогента выражаются через полярные конструкции, а не через евклидовые подобия.
Центр описанной окружности и перпендикулярные биссектрисы
- Перпендикулярные биссектрисы сторон сходятся в центрах описанной окружности; на сфере центр есть пара антиподальных точек (две центровые точки, соответствующие двум кругам через три точки), в гиперболической геометрии центр описанной окружности обычно существует (если рассматривать обычную окружность в модели), но может находиться «вне» треугольника в зависимости от формы.
- Теоремы о существовании и единственности окружности через три точки корректно формулируются, но способы выражения (радиус, центр) меняются через кривизну.
Что теряется (интуитивно и конкретно)
- Отсутствие аффинной структуры: нет глобальных параллельных переносов и однородных гомотетий, поэтому свойства, зависящие на похожести/масштабировании (например, фиксированное соотношение деления медианы 2:1, линейные зависимости координат, простые отношения расстояний), утрачиваются.
- Eulerова прямая: в евклидовой геометрии O (центр окружности), G (центроид) и H (ортоцентр) лежат на одной прямой и G делит отрезок OH в отношении $OG:GH=1:2$. В сферической и гиперболической геометриях это в общем неверно: O, G, H обычно не коллинеарны; частные случаи (симметричные треугольники) могут давать коллинеарность, но общий факт теряется.
- Простые линейные формулы для координат центров заменяются тригонометрическими/гиперболическими выражениями, зависящими от кривизны и длин сторон.
- Представления через подобие треугольников во многих доказательствах исчезают (в гиперболической и сферической геометриях подобие треугольников не эквивалентно равенству углов в том же простом смысле и масштабирование отсутствует).
Краткие формулы, которые часто используются
- Trig Ceva (угловая форма): см. выше.
- Биссектрисная теорема (сфера): $\frac{\sin BD}{\sin DC}=\frac{\sin AB}{\sin AC}.$ - Биссектрисная теорема (гипербола): $\frac{\sinh BD}{\sinh DC}=\frac{\sinh AB}{\sinh AC}.$ - Законы синусов для перевода между углами и сторонами: см. блок «Кратко о нужных классических законов».
Итог
- Сохранены: существование и конкурентность медиан, биссектрис и высот; существование инцентра и (как правило) описанного центра; корректные аналоги Ceva и Menelaus в тригонометрической форме.
- Изменились: явные линейные отношения (например, деление медианы в отношении 2:1, Euler-линию, простые отношения расстояний). Все такие отношения заменяются формулами со синусами или гиперболическими синусами, зависящими от длин сторон и кривизны.
Если нужно, могу привести конкретные выводающие формулы для деления медианы центроидом в зависимости от сторон в сферической или гиперболической геометрии (они выражаются через sin/sinh и закон синусов).