Коротко: при условии, что BC — ось абсцисс и проекция A на BC — начало координат, второе пересечение описанной (через A и касающейся BC в X) окружности с высотой из A движется по параболе. Ниже — вывод и геометрическая интерпретация.
Аналитика (координатный вывод).
- Положим BC = ось $x$, проекция $H$ точки $A$ на $BC$ в начале координат, $A=(0,a)$ ($a>0$). Пусть $X=(t,0)$.
- Центр окружности, касающейся $BC$ в $X$, лежит на перпендикуляре к $BC$ через $X$, т.е. имеет вид $O=(t,r)$. Так как окружность проходит через $A$,
$$(0-t{)}^2+(a-r{)}^2=r^2⟹t^2+a^2-2ar=0,$$ откуда
$$r=\frac{t^2+a^2}{2a}.$$ - Пересечение этой окружности с высотой (прямая $x=0$) даёт решения уравнения
$$t^2+(y-r{)}^2=r^2⟹(y-r{)}^2=r^2-t^2.$$ Один корень — $y=a$ (точка $A$), второй равен по симметрии $y^{\prime }=2r-a$. Подставляя $r$,
$$y^{\prime }=\frac{t^2}{a}.$$ Итого: при $X=(t,0)$ второе пересечение с высотой равно $Y=(0,\frac{t^2}{a})$.
Геометрическая интерпретация.
- Локус точек $Y$ при изменении $X$ по прямой $BC$ — парабола с вершиной в $H$ (проекции $A$ на $BC$) и осью совпадающей с высотой $AH$. В уравнениях (в тех же координатах):
$$y=\frac{x^2}{a},$$ где $x$ — координата точки $X$ на $BC$, $y$ — координата соответствующей точки на высоте.
- В частности, если $AH=h$ и $HX=s$ (суждённые расстояния), то соответствующая точка на высоте отстоит от $H$ на
$$HY=\frac{s^2}{h}.$$ - Фокус этой параболы находится в точке $(0,a/4)$ (т.е. на высоте расстояния $a/4$ от $H$), параметр параболы $p=a/4$.
- Поведение: при малых $s$ точка $Y$ близка к $H$ (квадратичная зависимость), при удалении $X$ от $H$ координата $Y$ растёт квадратично.
Краткое смысловое заключение: преобразование «X на BC → второе пересечение окружности через A, касающейся BC в X, с высотой из A» задаётся формулой $HY=\frac{(HX{)}^2}{AH}$ и даёт параболу с вершиною в H и осью AH.