Коротко: задача сводится к поиску линии в нормальной форме (направление + сдвиг), для которой для каждой окружности i выполняется требуемое число пересечений (0,1(tangent) или 2) и порядок точек на прямой совпадает с заданным. Ниже — необходимые формулы, выполнимый алгоритм проверки и перечисление геометрических препятствий.
Основные обозначения и формулы.
- Пусть направление прямой задаётся единичным вектором $t=(\cos \theta ,\sin \theta {)}^{\top }$ (направление вдоль прямой) и нормалью $n=(-\sin \theta ,\cos \theta {)}^{\top }$. Прямая задаётся параметром $p$ в Hesse-форме: $⟨n,x⟩=p$.
- Для центра окружности $C_i$ координаты по нормали и по прямой: $c_{i,n}=⟨C_i,n⟩,c_{i,t}=⟨C_i,t⟩$.
- Перпендикулярное расстояние от центра до линии: $d_i=|c_{i,n}-p|$. Окружность радиуса $r_i$ пересекает линию тогда и только тогда, когда $d_i\le r_i$. При $d_i<r_i$ две точки пересечения имеют координаты вдоль линии
$$u_i^{\pm }(p,\theta )=c_{i,t}\pm \sqrt{r_i^2-(c_{i,n}-p{)}^2},$$ при $d_i=r_i$ — одна (кратная) точка $u_i=c_{i,t}$.
Алгоритм проверки существования (практическая версия).
1. Подготовка: знаем центры $C_i$ и радиусы $r_i$, задан порядок шестёрки точек (с указанием, какая точка — касание или пересечение).
2. Перебор направлений:
- Перебираем $\theta \in [0,\pi )$. Впервые можно сделать грубую сетку по $\theta$, затем уточнять локально (см. замечание про критические направления).
3. Для фиксированного $\theta$ натуральный параметр — $p$. Для каждого $i$ допустимый диапазон $p$ для требуемого числа пересечений: если нужно 2 точки, требуем $|c_{i,n}-p|<r_i$; если касание — $|c_{i,n}-p|=r_i$; если 0 — $|c_{i,n}-p|>r_i$. Это даёт для каждого окружности либо интервал(ы) по $p$, либо точку.
4. Пересечение допустимых множеств по трём окружностям даёт множество допустимых $p$ для данного $\theta$. Если оно пусто — перейти к следующему $\theta$.
5. Для любого допустимого $p$ формируем список точек пересечения (две для каждой окружности с $d_i<r_i$, одну при $d_i=r_i$), вычисляем их координаты $u$ вдоль линии и сортируем по возрастанию. Сравниваем с требуемым порядком. Если совпадает — решение найдено.
6. По необходимости локализовать решение численно: при сеточном поиске, если между соседними значениями $\theta$ и/или $p$ порядок меняется, искать по событийному уравнению (см. ниже) и уточнять методом Ньютона/биекции.
Как находить границы/критические случаи эффективно.
- Порядок вдоль линии меняется только при характерных событиях: когда две точки пересечения совпадают. Это происходит если для некоторой пары (i, j) и выбора знаков знака в $\pm$ выполняется
$$c_{i,t}\pm \sqrt{r_i^2-(c_{i,n}-p{)}^2}=c_{j,t}\pm \sqrt{r_j^2-(c_{j,n}-p{)}^2},$$ или когда происходит касание $|c_{i,n}-p|=r_i$.
- Поэтому можно искать решения в параметрическом пространстве $(\theta ,p)$ решая конечную систему таких уравнений (численно). Это даёт конечный набор кандидатных линий, которые затем проверяются на соответствие полному требованию (и на порядок).
Главные геометрические препятствия (интуиция и диагностические признаки невозможности).
1. Контейнерность/включение: если одна окружность полностью лежит внутри другой и радиусы/расстояние таковы, что любая линия, пересекающая внутреннюю дважды, также пересечёт внешнюю дважды, это накладывает жёсткие ограничения на порядок (некоторые чередования невозможны).
2. Вложенность хорд: для фиксированной прямой два пересечения окружности симметричны относительно $c_{i,t}$. Это означает, что положение двух точек одной окружности обязано иметь свой середний пункт в точке проекции центра. Это даёт ограничение на межположения: между двумя точками одной окружности не может лежеть «несогласованное» число точек от других окружностей, несовместимый с центровыми проекциями.
3. Паритет/симметрия: любая окружность даёт пару точек, симметричных относительно центра проекции; поэтому для заданного порядка нужно, чтобы для каждой пары одинаковых меток число точек слева и справа от середины совпадало с проектированными центрами — грубо: требуемая последовательность должна допускать размещение трёх пар симметрично относительно трёх (неизвестных заранее) точек на прямой. Некоторые последовательности (например, если для одной окружности её две метки находятся несимметрично относительно меток остальных так, что никакой выбор трёх центров не даёт симметрии) невозможны.
4. Касательные/выраженные вырожденности: если порядок требует касания в конкретном месте, это переводит задачу в решение уравнения с равенством $|c_{i,n}-p|=r_i$, что уменьшает размер множества возможных линий и часто делает задачу невозможной.
5. Топологические препятствия: если последовательность строго чередует метки трёх окружностей (например A B C A B C), то геометрически это возможно не всегда — нужно, чтобы проекции центров шли в определённом порядке; такие условия легче проверять численно по алгоритму выше.
Рекомендации по реализации (надёжно и быстро).
- Сначала быстрый грубый перебор по $\theta$ (например 360–1000 шагов), внутри для каждого $\theta$ найти пересечение допустимых по $p$ интервалов и проверять порядок в середине полученных интервалов. Если найдено — успех.
- Если грубая сетка не дала ответ, локализовать изменения порядка решением уравнений совпадения точек (см. события) и проверять найденные кандидаты.
- Для устойчивости учесть машинную погрешность при касаниях (параметры с допуском).
Краткое резюме:
- Свести задачу к параметрам $(\theta ,p)$, вычислять точки пересечения по формуле $u_i^{\pm }=c_{i,t}\pm \sqrt{r_i^2-(c_{i,n}-p{)}^2}$.
- Перебор по $\theta$ и поиск допустимых $p$ с проверкой порядка — надёжный практический алгоритм.
- Геометрические препятствия: вложенность окружностей, требование симметричности пар точек относительно проекций центров, касательные (вырожденные) случаи и связанные с ними ограничения на допустимые $p$ и $\theta$.
Если нужно, могу привести псевдокод этого алгоритма или показать пример численной реализации.