Пусть $A(-1,0),C(1,0),B(0,h)$ (симметрия), точка $D(t,0)$. Тогда
$$AB=\sqrt{1+h^2},AD=t+1,DC=1-t,BD=\sqrt{t^2+h^2}.$$ Из условий «треугольник $ABD$ равнобедренный» и «треугольник $BDC$ равнобедренный» остаются лишь невырожденные варианты
$$\{\begin{array}{l}AB=AD:t=\sqrt{1+h^2}-1,\\ BD=DC:t=\frac{1-h^2}{2},\end{array}\text{или}\{\begin{array}{l}AD=BD:t=\frac{h^2-1}{2},\\ BC=DC:t=1-\sqrt{1+h^2}.\end{array}$$ Решение первой пары даёт уравнение
$$\sqrt{1+h^2}-1=\frac{1-h^2}{2}\Rightarrow h^4-10h^2+5=0,$$ из которого физически допустимый корень $h^2=5-2\sqrt{5}$ даёт $h=\tan 36^{\circ }$. Следовательно
$$A=C=36^{\circ },B=108^{\circ }.$$ Вторая пара даёт симметричное расположение $D$ (тот же треугольник). Ещё один допустимый случай получается при
$$AD=BD\&BD=DC\Rightarrow h^2=1,$$ что даёт прямой равнобедренный треугольник
$$A=C=45^{\circ },B=90^{\circ }.$$
Итого возможны два случая: либо $A=C=36^{\circ },B=108^{\circ }$, либо $A=C=45^{\circ },B=90^{\circ }$.