Коротко и по существу.
1) Центр тяжести (центroid площади) выпуклого n‑угольника. Пусть вершины в порядке обхода имеют координаты $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots ,n$, $x_{n+1}=x_1$, $y_{n+1}=y_1$. Площадь и координаты центра заданы привычными алгебраическими формулами
$$A=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),$$ $$C_x=\frac{1}{6A}\sum _{i=1}^n(x_i+x_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i),C_y=\frac{1}{6A}\sum _{i=1}^n(y_i+y_{i+1})(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i).$$ Эти выражения — рационально‑полиномиальные функции от координат вершин, т.е. аналитические при условии $A\ne 0$. Для выпуклого многоугольника $A>0$, поэтому при непрерывной деформации, сохраняющей выпуклость (и тем самым ненулевую площадь), координаты центра тяжести зависят непрерывно и даже $C^{\infty }$ (реально аналитически) от координат вершин. Если деформация задаётся параметром $t$ и вершины $(x_i(t),y_i(t))$ зависят от $t$ непрерывно (или дифференцируемо), то и $C_x(t),C_y(t)$ зависят от $t$ непрерывно (соответственно дифференцируемо).
Фиксация периметра $P=\sum {\ell }_i$ (непрерывное ограничение) не разрушает этого вывода: центр тяжести — композиция гладких функций, поэтому на множестве выпуклых n‑угольников с фиксированным периметром координаты центра тяжести остаются непрерывными и гладкими вдоль любых гладких (или непрерывных) путей деформации, пока полигон не вырождается.
2) Центр описанной окружности. Тут нужно различать случаи.
- Если полигон цикличен (все вершины лежат на одной окружности), то существует единственный центр описанной окружности. Центр — центр окружности, проходящей через три любых негде коллинеарные вершины. Для трёх точек $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ координаты окружности выражаются рационально:
D=2det⁡(x1y11x2y21x3y31), D=2\det\begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\end{pmatrix},
D=2det x1 x2 x3 y1 y2 y3 111 , Ox=det⁡(x12+y12y11x22+y22y21x32+y32y31)D,Oy=det⁡(x1x12+y121x2x22+y221x3x32+y321)D. O_x=\frac{\det\begin{pmatrix} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\ x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\ x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1\end{pmatrix}}{D},\qquad
O_y=\frac{\det\begin{pmatrix} x_1 & x_1^2+y_1^2 & 1\\ x_2 & x_2^2+y_2^2 & 1\\ x_3 & x_3^2+y_3^2 & 1\end{pmatrix}}{D}.
Ox =Ddet x12 +y12 x22 +y22 x32 +y32 y1 y2 y3 111 ,Oy =Ddet x1 x2 x3 x12 +y12 x22 +y22 x32 +y32 111 . Это рациональные функции от координат вершин с общим знаменателем $D$. Следовательно, при циклической деформации, которая сохраняет ненулевой $D$ (т.е. никакие три выбранные опорные вершины не становятся коллинеарными), координаты центра описанной окружности зависят непрерывно и дифференцируемо (гладко). Но если polygon теряет цикличность (перестаёт быть вписанным), центр описанной окружности перестаёт существовать; при приближении к вырождению (три вершины почти коллинеарны) знаменатель $D\to 0$ и центр может «убегать» в бесконечность — разрыв/сингулярность.
- Для общего невписываемого выпуклого многоугольника единой описанной окружности нет, поэтому понятие «центр описанной окружности многоугольника» неприменимо; можно рассматривать центры описанных окружностей треугольников, составленных из трёх вершин (они зависят плавно от вершин, пока треугольник невырожден).
Выводы/итоги:
- Центр тяжести (площади выпуклого многоугольника) — непрерывная и даже гладкая функция от координат вершин при сохранении невырожденности (выпуклости); то же при деформациях с фиксированным периметром.
- Центр описанной окружности (если полигон вписан) — непрерывная/дифференцируемая функция вдоль циклической деформации пока круг не вырождается (нет коллинеарных троек); при потере вписанности центр теряет смысл, при приближении к вырождению возможны разрывы/убегание в бесконечность.
- В частных случаях (например, треугольник) формулы просты: центр тяжести $G=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})$ — всюду гладок; центр описанной окружности гладок при ненулевом $D$, сингуляр при $D=0$.
Если нужна более точная характеристика регулярности на многообразии вершин с условием фиксированного периметра (например, доказывать гладкость как функции на этом многообразии через неявную функцию), могу дать краткую ИФТ‑аргументацию.