Ответ: множество ортопроектов точки $A$ на все прямые, проходящие через фиксированную точку $O$, — это окружность с диаметром $AO$.
Краткое доказательство:
- Пусть $P$ — ортопроекция $A$ на прямую $\ell$ через $O$. Тогда по определению $AP\perp OP$, значит $\angle APO=90^{\circ }$, поэтому $P$ лежит на окружности с диаметром $AO$ (теорема Фалеса).
- Обратно, если $P$ лежит на этой окружности, то $\angle APO=90^{\circ }$, значит прямая $OP$ проходит через $O$ и перпендикулярна $AP$, следовательно $P$ — ортопроекция $A$ на прямую $OP$.
Параметры и уравнения (в общем виде):
- Пусть $O=(x_0,y_0)$, $A=(x_1,y_1)$. Центр окружности
$C=(\frac{x_0+x_1}{2},\frac{y_0+y_1}{2})$.
- Радиус
$R=\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2}$.
- Уравнение:
$(x-\frac{x_0+x_1}{2}{)}^2+(y-\frac{y_0+y_1}{2}{)}^2=R^2$.
Параметризация через угол направления прямой $\theta$:
- Обозначим вектор $OA=d(\cos \alpha ,\sin \alpha )$, тогда прямая через $O$ с направлением $\theta$ даёт проекцию
$$P(\theta )=O+d\cos (\theta -\alpha )(\cos \theta ,\sin \theta )=C+\frac{d}{2}(\cos (2(\theta -\alpha )),\sin (2(\theta -\alpha ))),$$ что явственно описывает окружность центра $C$ и радиуса $d/2$.
Особый случай: если $O=A$, множество вырождается в одну точку $A$.