1) Классическая (плоская, с направленными отрезками).
Пусть $ABC$ — треугольник, прямая $l$ пересекает прямые $BC,CA,AB$ в точках $D,E,F$ соответственно (включая возможные пересечения на продолжениях сторон). Тогда точки $D,E,F$ коллинеарны тогда и только тогда, когда выполнено
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1,$$ где дроби — отношения направленных отрезков.
2) Координатная (аффинная) формулировка.
Положим в аффинной системе координат $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$. Прямая $l$ имеет уравнение $ux+vy+w=0$ (с $u,v$ не оба нулевые). Тогда точки пересечения с сторонами:
- $F=l\cap AB$ при $y=0\Rightarrow x_F=-w/u$, поэтому $\frac{AF}{FB}=\frac{x_F-0}{1-x_F}=\frac{-w/u}{1+w/u}=\frac{-w}{u+w}$.
- Аналогично для $D=l\cap BC$ ($x+y=1$ на $BC$ или параметризация) и $E=l\cap CA$. При подстановке получаем тот же соотношение
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=-1.$$ (Детали: вычисления дают каждое отношение как дробь от $u,v,w$, произведение упрощается до $-1$.)
3) Проективная (барицентрическая / гомогенная) формулировка.
В барицентрических координатах точка задаётся $(x:y:z)$. Уравнение произвольной прямой имеет вид $ux+vy+wz=0$. Пересечение этой прямой с стороной $BC$ имеет координаты $(0:y:z)$, и отношение направленных отрезков на $BC$ выражается через координаты как
$$\frac{BD}{DC}=-\frac{z}{y},$$ аналогично $\frac{CE}{EA}=-\frac{x}{z},\frac{AF}{FB}=-\frac{y}{x}$. Их произведение даёт
$$\left(-\frac{z}{y}\right)\left(-\frac{x}{z}\right)\left(-\frac{y}{x}\right)=-1.$$ Это — проективная форма: равенство инвариантно при любом проективном преобразовании, поэтому достаточно проверить его в удобной системе координат.
Доказательства и эквивалентность (кратко)
A) Синтетическое доказательство через площади (плоская версия).
Обозначим через $[XYZ]$ ориентированную площадь треугольника $XYZ$. Для точки $D\in BC$ $$\frac{BD}{DC}=\frac{[BDA]}{[ADC]}$$ (ориентирование даёт знак при переходе на продолжение стороны). Аналогично для других отношений. Перемножив три таких равенства, в числителях и знаменателях останутся площади треугольников, которые сократятся, и из-за одного вынужденного отрицательного знака (одна из точек лежит на продолжении стороны) получится $-1$. Это даёт и достаточное, и необходимое условие коллинеарности (если произведение равно $-1$, то соответствующие отношения площадей согласуются с тем, что все три точки лежат на одной прямой).
B) Координатное доказательство.
Прямое вычисление в выбранной выше аффинной системе: записав уравнение прямой и найдя координаты пересечений с каждой стороной, выражаем три отношения в терминах коэффициентов уравнения и перемножаем — получаем $-1$. Это доказывает импликацию «точки коллинеарны ⇒ произведение равно $-1$». Обратное: если произведение равно $-1$, то уравнения для координат пересечений совместимы и дают одну прямую, поэтому точки лежат на одной прямой.
C) Проектная интерпретация и эквивалентность.
Барицентрическое доказательство показывает проективную природу утверждения: уравнение прямой в гомогенных координатах даёт отношения на сторонах в виде дробей из координат, и произведение равно $-1$ автоматически. Любое аффинное (координатное) доказательство — частный случай проективного, а проективный подход сводит общую конфигурацию к удобным координатам через проективное преобразование, поэтому все формулировки эквивалентны.
Методические трудности при обучении и рекомендации
- Направленные отрезки и знак: многие учащиеся путают модульные отношения и направленные; обязательно ввести ориентированные (signed) отрезки и пояснить случаи, когда точка на продолжении даёт отрицательное отношение.
- Геометрическая интуиция vs алгебра: синтетическая (площадная) модель даёт интуицию, но аккуратность требует работы с ориентацией; алгебраический (координатный, барицентрический) подход формален и прозрачен, но для новичков может казаться «черной магией». Рекомендация — сначала синтетика с рисунками, затем демонстрация координатного доказательства как проверки.
- Понятие продолжения стороны и бесконечность: в проективном варианте удобно обсудить точки на бесконечности, но это требует предварения в понятии проективной плоскости; лучше вводить это постепенно.
- Связь с теоремой Чева: учащиеся путают условия Чева ($+1$ для конкуренции) и Менелая ($-1$ для коллинеарности). Полезно показать их как двойственные утверждения (через проективную дуальность) и привести совместные примеры.
- Типичные ошибки: неверное присвоение знака, подстановка не тех отрезков в произведение, забывание о возможности совпадения точек или положении на продолжениях. Нужно давать упражнения с разными позициями точек (внутри отрезка, на продолжении), а также проверять частные/вырожденные случаи.
Краткая учебная стратегия
1. Визуальная демонстрация на рисунках (с классическими случаями).
2. Введение ориентированных отрезков и объяснение знаков.
3. Синтетическое доказательство через площади — для интуиции.
4. Координатное доказательство — для вычислительной строгости.
5. Барицентрическое/проективное объяснение — показывает инвариантность и связь с двойственностью/Чевой.
6. Упражнения, охватывающие все случаи (включая точки на продолжениях и точки в бесконечности).
Таким образом, плоская, координатная и проективная формулировки Менелая эквивалентны; различие — в языке доказательства (площади, координаты, барицентрические коэффициенты) и в удобстве применения в разных контекстах.