Нужно уточнить конфигурацию; даю краткое доказательство при естественном предположении: точки $A,B,C,D$ лежат на одной окружности с центром $O$, и под $\angle C$ и $\angle B$ понимаются вписанные углы, опирающиеся на хорду $AB$, т.е. $\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ }$. Тогда:
1) Вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $90^{\circ }$ означает, что соответствующая дуга $AB$ имеет меру $180^{\circ }$, следовательно $AB$ — диаметр окружности.
2) Центр окружности лежит в середине любого диаметра. Раз $O$ — центр (это согласуется с тем, что $CO=DO$, т.е. $C$ и $D$ равноудалены от $O$), то $O$ — середина отрезка $AB$.
Таким образом $O$ — середина $AB$.
Если ваша исходная постановка другая, пришлите точную схему/формулировку.