Нет. Обозначим функцию стороны относительно прямой $s(X)$, принимающую значения $+1$ или $-1$ для точек по разные стороны от прямой. Условие «отрезок $AC$ пересекает прямую» даёт
$$s(A)s(C)<0,$$ аналогично для $BC$:
$$s(B)s(C)<0.$$ Отсюда $s(A)$ и $s(B)$ имеют один и тот же знак (оба противоположны $s(C)$), то есть
$$s(A)s(B)>0.$$ Дано также, что отрезок $BD$ не пересекает прямую, значит
$$s(B)s(D)>0.$$ Умножив полученные положительные равенства (или просто заметив транзитивность одинаковости знака), получаем
$$s(A)s(D)>0,$$ то есть $A$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой. Следовательно, отрезок $AD$ прямую не пересекает.