Пусть $MN=NK$ и $R\in MN,S\in NK$. Так как $MQ=QK$ и $MN=NK$, точка $Q$ — середина основания $MK$ в равнобедренном треугольнике с вершиной $N$, значит прямая $NQ$ — серединный перпендикуляр к $MK$. Обозначим через $f$ отражение относительно прямой $NQ$. Тогда
- $f(M)=K$ и $f(Q)=Q$ (почему: $NQ$ — перпендикуляр и медиана к $MK$),
- $f$ сохраняет углы.
Отражение переводит луч $QM$ в луч $QK$, поэтому образ луча $QR$ — некоторый луч $Qf(R)$ и образ угла $\angle MQR$ равен углу $\angle KQf(R)$. По условию $\angle MQR=\angle SQK$, следовательно
$$\angle KQf(R)=\angle SQK.$$ Углы с вершиной в $Q$ и с одной стороной $QK$ равны тогда и только тогда, когда соответствующие другие стороны совпадают, значит лучи $Qf(R)$ и $QS$ совпадают, т.е. $f(R)=S$.
Поскольку отражение сохраняет углы, образ угла $\angle MRQ$ под $f$ — это угол $\angle QSK$. Значит
$$\angle MRQ=\angle QSK,$$ что и требовалось доказать.