Кратко — отличие, формулы, когда какой метод удобнее, и наглядный пример.
1) Определения и связь
- Барицентрические координаты точки $P$ относительно треугольника $ABC$: $P=(x:y:z)$, где $x,y,z$ пропорциональны площадям $[PBC],[PCA],[PAB]$.
- Трилинейные координаты: $P=(\alpha :\beta :\gamma )$, где $\alpha ,\beta ,\gamma$ пропорциональны расстояниям от $P$ до сторон $BC,CA,AB$.
- Связь:
$$(\alpha :\beta :\gamma )=(\frac{x}{a}:\frac{y}{b}:\frac{z}{c}),(x:y:z)=(a\alpha :b\beta :c\gamma ),$$ где $a=BC,b=CA,c=AB$.
2) Прямые и пересечения
- В барицентрических координатах уравнение прямой линейно: $lx+my+nz=0$. Пересечение двух прямых находится решением линейной системы (или векторным произведением строк/столбцов).
- В трилинеарных координатах уравнение тоже линейно в $\alpha ,\beta ,\gamma$, но при преобразованиях к геометрическим условиям, связанным с углами или расстояниями до сторон, трилинейные коэффициенты часто естественнее.
- Вывод: для систем из линейных условий (цеевины, медианы, пересечения с условием «линейно в площадях») барицентрики чаще удобнее; для задач с условиями, зависящими от расстояний до сторон или углов — трилинейные координаты.
3) Симедианы и изогональное преобразование
- В трилинейных координатах изогональное сопряжение просто:
$$(\alpha :\beta :\gamma )\mapsto (\frac{1}{\alpha }:\frac{1}{\beta }:\frac{1}{\gamma }).$$ Поэтому симедианная (как образ медианы при изогональном) записывается очень просто в трилинеарах.
- Координаты симедианного центра (точки Лемона) (симедианный центр $K$):
$$\text{трилинейные:}K=(a:b:c),\text{барицентрические:}K=(a^2:b^2:c^2).$$ - Формула изогонального в барицентриках: если $P=(x:y:z)$, то его изогонал $P^{\ast }=(a^2/x:b^2/y:c^2/z)$ (в скалярном виде — после приведения).
4) Центр тяжести (центроид)
- Барицентрические координаты центра масс/центроида $G$: $G=(1:1:1)$.
- Соответствующие трилинейные: $G=(1/a:1/b:1/c)$.
5) Плюсы/минусы (коротко)
- Барицентрические: естественны для задач с площадями, массами, пересечением цеевин, удобны для алгебраических вычислений пересечений (линейная алгебра).
- Трилинейные: естественны для задач, связанных с расстояниями до сторон, углами и изогональностью (симедианы, зеркальные преобразования), часто дают короткие «симметричные» записи.
6) Пример, где один метод заметно удобнее другого
Задача: получить координаты точки Лемона (симедианного центра) как изогонального образа центра тяжести $G$.
- Трилинейный путь (короткий и наглядный):
- Центроид: $G=(1/a:1/b:1/c)$.
- Изогональное сопряжение — инверсия компонент:
$$G^{\ast }=(\frac{1}{1/a}:\frac{1}{1/b}:\frac{1}{1/c})=(a:b:c).$$ Это и есть трилинейные координаты симедианного центра; при переводе в барицентрики умножаем на $(a,b,c)$ и получаем $(a^2:b^2:c^2)$.
- Барицентрический путь:
- Центроид: $G=(1:1:1)$.
- Прямо в барицентриках применяют формулу изогонала $P^{\ast }=(a^2/x:b^2/y:c^2/z)$. Для $G$ это даёт сразу
$$G^{\ast }=(a^2:b^2:c^2).$$ Получение того же результата возможно, но смысл операции (изогонал как «инверсия трилинейных» ) менее очевиден в терминах барицентрик без знания формулы.
Вывод: для операции «взять изогонал» или для работы с симедианами трилинейные координаты часто удобнее и более интуитивны (простая инверсия компонент). Для чисто алгебраического нахождения пересечения прямых, решения систем с условиями площадей/масс — барицентрики обычно проще. Выбор метода зависит от природы условий задачи; при смешанных условиях разумно переходить между системами по формуле связи $(x:y:z)=(a\alpha :b\beta :c\gamma )$.